【数学】確率変数の畳み込みによる積分範囲の求め方について

添付いたしました問題に対して畳み込みによる積分範囲の求め方が分からず困っております。
zの場合分けから範囲の求め方？がよくわかっておりません；
例　0<z≤1の時　積分範囲[0,z]
　　とchatGPTで答えが返ってきたのですが積分範囲[0,1]？ではないのかと思ってしまいます。

初歩的なことかもしれませんがご教授いただければ幸いです。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/10/24 11:46

> 変数変換し

変数変換なんてことはNo.1ではやってないでしょ。てことは、回答No.1を読む気はなくて、質問に書いてもない誰かさんの答案を眺めていらっしゃる。回答しても無駄だとよく分かりました。

この回答へのお礼

申し訳ございません。
変数変換と言いましたのはyを置き換えたことをそうとらえていました。
数学が得意でなく誤った使い方をしてしまい申し訳ございません。

No.１の回答を拝見させていただきました。
自分の解釈を初めに提示出来ていなかったことが問題だったと思っております。
今後は質問するときに整理してからあげたいと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2024/10/24 17:18

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/10/23 18:02

ありゃん？回答したはずだけどおかしいな。

ま、もう一回書く。

　　fX(x) = e^(-x), x＞0
　　fY(y) = 1, 0＜y＜1
というのは、xが実数全体を走る関数であって、
　　fX(x) = if (x＞0) then e^-x, else 0
　　fY(y) = if (0＜y and y＜1) then 1, else 0
なのだと思えば、畳み込み積分の積分範囲はもちろん-∞〜∞でよろしい。だから積分範囲がわからないと式が書けないー、なんてことはない。


　以上でおしまい、というんでも何の不都合もないのだが、ま、
　　fX(x)fY(z-x) = 0
であるようなxについては、積分範囲から除外したって、当然、積分の結果は変わらない。すると、
　　if (x≦0) then fX(x) = 0
　　if (0≧y or y≧1) then fY(y) = 0
なのだから
　　if (x≦0 or 0≧(z-x) or (z-x)≧1) then fX(x)fY(z-x) = 0
だとわかるんで、(x≦0 or 0≧(z-x) or (z-x)≧1)の範囲を積分範囲から除外しても答に影響はない。そうすると、除外されないのは、
　　A = {x | x＞0 and 0＜(z-x) and (z-x)＜1}
という範囲。これを積分範囲にしても、答は変わらないよ、ってことです。なお、この質問の場合には
　　if x∈A then fX(x)fY(z-x) ≠ 0
になっているので、これ以上除外できるxはない。そしてこの範囲では
　　fY(z-x) = 1
なのだから、被積分関数は e^(-x)だけで済む。
　　

　大小関係を整理すると、
　　(x＞0 and 0＜(z-x) and (z-x)＜1) ⇔ (x＞0 and z＞x and (x＞(z-1))
ということ。特に
　　0<z≤1の時　
には、(z-1)≦0 なので、
　　x＞0 ⇒ x＞(z-1)
である。だから積分範囲は
　　A = {x | x＞0 and z＞x}
となる。
　まとめると、0<z≤1の場合なら、積分範囲を 下限0、上限z にしても畳み込み積分の答は同じであり、さらにこのとき、被積分関数は e^(-x) である。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
整理しながら疑問点について共有できたらと思います。

変数変換し
y=z-xと置き換えたことにより
範囲が
0＜z-x<1

となりxとして整理すると
-z<-x<-z+1
z-1<x<z
となりxは[z-1,z]の間で動き

ここから先の場合分けが理解できておりません。

fz(z)=∫fx(x)fy(z-x)dx
でdxと置いてあるのでxをベースに積分範囲を変換していけばいいのかと思っております。
xの条件として
①0<x
②z-1<x<z
xの範囲は[max[0,z-1]<x<z]

zは
　0＜z-x<1 = x＜z<1+x
xを0と固定して
　0＜z<1
の範囲で場合分けして考えると
・z≤0時
・0<z<1の時
・z≥1の時

z≤0時
①②の条件が満たされないので0

0<z<1の時
　例z=0.5の時
　②z-1<x<z ＝ 0.5-1<x<0.5
　　　　　　 ＝ -0.5<x<0.5
　　　　　　 ＝ 　 0<x<0.5　(max[0,z-1])
　これは0<zと同じ為、積分範囲は0<z

z≥1の時
　例z=1.5の時
　②z-1<x<z ＝ 1.5-1<x<1.5
　　　　　　 ＝ 0.5<x<1.5
　　　　　　 ＝ 0.5<x<1.5　(max[0,z-1])
　これはz-1<x<zと同じ為、積分範囲はz-1<x<z

上記の解釈で間違いないでしょうか？

お礼日時：2024/10/24 06:38