ここのfの問題の運動方程式はmv1^2/r1(r0-r1)で求められないのですか？

ここのfの問題の運動方程式はmv1^2/r1(r0-r1)で求められないのですか？

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/11/15 12:09

だから、（f）の答は書きなおすと

W=(mv₁²/r₁)(r₀-r₁)[(1/2)(r₁/r₀)(1＋r₁/r₀)]　となって
(mv₁²/r₁)(r₀-r₁)　より小さいです。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/11/13 21:51

たしかに糸の張力の仕事率＝糸の張力と速度ベクトルの内積

を時間積分して仕事を求める手はあります。
これにはOを原点とする極座標ｒ、θ表示の動径方向の運動方程式と
角運動量保存則を用いる：
糸の張力Sは動径方向の成分しか持たないので
Sの仕事率＝Sｒ’（ｒ’は動径ｒの時間微分で速度の動径方向成分）
動径方向の運動方程式は
m(ｒ”－ｒθ’²)＝S
角運動量保存の式はL₀≠mｒ²θ’　これをθ’についてといて
上の式に入れると
m(ｒ”－(L₀²/m²)(1/ｒ³))＝S　この両辺にｒ’をかけて
張力の仕事率Sｒ’＝m(ｒ’ｒ”－(L₀²/m²)(ｒ’/ｒ³))
この右辺は最終的に＝d/dt[(1/2)mｒ’²＋(L₀²/2m)(1/ｒ²)]
なので、張力の仕事Wは右辺を時間積分して求められるが
円軌道変更の直前と直後でｒ’がそれぞれ0なので
W=(L₀²/2m)(1/ｒ₁²－1/ｒ₀²)　　です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/13 10:00

＞ここのfの問題の運動方程式はmv1^2/r1(r0-r1)で求められないのですか？

運動方程式？
単に「力 × 変位」で、質問者さんは向心力（あるいは遠心力）が
　m(v1)^2 /r1
で一定だと勘違いしていませんか？
v は r によって変化します。
一定なのは「角運動量」です。

(f) では、角運動量が一定なので、r, v が変化しても
　L0 = mrv
が一定です。
なので
　v = L0/mr
であり（r が大きくなると v は小さくなる）
・円運動の遠心力
　F = mv^2 /r = m(L0/mr)^2 /r = (L0)^2 /(mr^3)
です。
手で力を加え（加える力は f = -F）、この遠心力に逆らって半径を dr だけ移動するのに要する仕事は
　dW = -Fdr = -[(L0)^2 /(mr^3)]dr

従って、r：r0 → r1 に動かすための仕事は
　W01 = ∫[r0→r1](-F)dr = ∫[r0→r1][-(L0)^2 /(mr^3)]dr
　　　 = [(1/2)(L0)^2 /(mr^2)][r0→r1]
　　　 = [(L0)^2 /(2m)][1/(r1)^2 - 1/(r0)^2]

これと、(e) の結果を比べろといっているのです。

(e) では、
・半径 r0 のとき
　E0 = (1/2)m(v0)^2 = (1/2)(L0)^2 /[m･(r0)^2]
・半径 r1 のとき
　E1 = (1/2)m(v1)^2 = (1/2)m[(r0/r1)v0]^2
　　= (1/2)m(v0)^2･(r0/r1)^2
　　= (1/2)(L0)^2 ･(r0/r1)^2/[m･(r0)^2]
　　= (1/2)(L0)^2 /[m･(r1)^2]
よって
　ΔE = (L0)^2 /(2ｍ) [1/(r1)^2 - 1/(r0)^2]
になりましたよね？