A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
だから、(f)の答は書きなおすと
W=(mv₁²/r₁)(r₀-r₁)[(1/2)(r₁/r₀)(1+r₁/r₀)] となって
(mv₁²/r₁)(r₀-r₁) より小さいです。
No.2
- 回答日時:
たしかに糸の張力の仕事率=糸の張力と速度ベクトルの内積
を時間積分して仕事を求める手はあります。
これにはOを原点とする極座標r、θ表示の動径方向の運動方程式と
角運動量保存則を用いる:
糸の張力Sは動径方向の成分しか持たないので
Sの仕事率=Sr’(r’は動径rの時間微分で速度の動径方向成分)
動径方向の運動方程式は
m(r”-rθ’²)=S
角運動量保存の式はL₀≠mr²θ’ これをθ’についてといて
上の式に入れると
m(r”-(L₀²/m²)(1/r³))=S この両辺にr’をかけて
張力の仕事率Sr’=m(r’r”-(L₀²/m²)(r’/r³))
この右辺は最終的に=d/dt[(1/2)mr’²+(L₀²/2m)(1/r²)]
なので、張力の仕事Wは右辺を時間積分して求められるが
円軌道変更の直前と直後でr’がそれぞれ0なので
W=(L₀²/2m)(1/r₁²-1/r₀²) です。
No.1
- 回答日時:
>ここのfの問題の運動方程式はmv1^2/r1(r0-r1)で求められないのですか?
運動方程式?
単に「力 × 変位」で、質問者さんは向心力(あるいは遠心力)が
m(v1)^2 /r1
で一定だと勘違いしていませんか?
v は r によって変化します。
一定なのは「角運動量」です。
(f) では、角運動量が一定なので、r, v が変化しても
L0 = mrv
が一定です。
なので
v = L0/mr
であり(r が大きくなると v は小さくなる)
・円運動の遠心力
F = mv^2 /r = m(L0/mr)^2 /r = (L0)^2 /(mr^3)
です。
手で力を加え(加える力は f = -F)、この遠心力に逆らって半径を dr だけ移動するのに要する仕事は
dW = -Fdr = -[(L0)^2 /(mr^3)]dr
従って、r:r0 → r1 に動かすための仕事は
W01 = ∫[r0→r1](-F)dr = ∫[r0→r1][-(L0)^2 /(mr^3)]dr
= [(1/2)(L0)^2 /(mr^2)][r0→r1]
= [(L0)^2 /(2m)][1/(r1)^2 - 1/(r0)^2]
これと、(e) の結果を比べろといっているのです。
(e) では、
・半径 r0 のとき
E0 = (1/2)m(v0)^2 = (1/2)(L0)^2 /[m・(r0)^2]
・半径 r1 のとき
E1 = (1/2)m(v1)^2 = (1/2)m[(r0/r1)v0]^2
= (1/2)m(v0)^2・(r0/r1)^2
= (1/2)(L0)^2 ・(r0/r1)^2/[m・(r0)^2]
= (1/2)(L0)^2 /[m・(r1)^2]
よって
ΔE = (L0)^2 /(2m) [1/(r1)^2 - 1/(r0)^2]
になりましたよね?
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