物理学、力学に詳しい方に質問です。 2人のスカイダイバーAさん,Bさんの運動を考えます。 BさんはA

物理学、力学に詳しい方に質問です。

2人のスカイダイバーAさん,Bさんの運動を考えます。

BさんはAさんよりも遥か上空から降下するとします。与えられた文字はm,γ,t,g


Bさんがはるか上空から降下し、Aさんと隣り合って降下したい。AさんはBさんがどれだけ上方に来たときに飛び下りればよいのか。Aさんは静止状態から飛び降りる。


(問題文にはBさんの初期条件は書かれていなかったです。ここでは初速0で降下し始めたものとします。また、Aさん,Bさんの位置に関する初期条件も書いてありませんでした。)

Aさん.Bさんも空気抵抗による力と重力のみを受けます。Aさんの速度u,Bさんの速度vとする。

Bさんが飛び下りた時刻をt=0とすれば、運動方程式は


Bさん mv’=-mg-mγv ,v(0)=0

v=g/γ{exp(-γt)-1}


Aさんも同じ力を受けるので

mu’=-mg-mγu


ここからわかりません。どうにかして、
(Aさんの位置)=(Bさんの位置)
という方程式になって、一緒に降下し始める時刻を得ても初期条件がなくても、どれだけ上方に来たか、求まるのでしょうか。

初め、Bさんをh+HにいてAさんをはじめhにいたとした場合も考えましたが、上手くいきませんでした。(H>>h)

そもそもBさん降下した後にAさんは初速を与えずに追い付くのでしょうか。


読みにくくてすみません。

No.5 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2024/11/16 15:26

ＢさんがＡさんに追いつくかどうかという問題なので

2人の高さの差の時間変化について考えてみるのもよいかも：
Ａ、Ｂのそれぞれの速度（上向き正）をvA、vBとすれば
それぞれの方程式は
vA'=-g-γvA, vB'=-g-γvB ('は時間微分)
これらを辺々引くと
d/dt(vB-vA)=-γ(vB-vA) よりvB-vA=Ce^(-γt)・・・①
いま、A、Bともに初速度0なら①よりC=0だから各時刻で
vB-vA=0、なのでA、Bの高さの差＝ｈとしたとき
dh/dt=vB-vA=0、よりh＝一定つまり最初あった高低差を
いつまでも縮められないということになる。
なので今度はAの初速0、Bの初速度を-v₀つまり下向きにv₀
とすれば
①からvB-vA=-v₀e(-γt), dh/dt=-v₀e(-γt), h=(v₀/γ)e(-γt)+D
となって、最初の高さの差＝h₀とすれば
h＝(v₀/γ)e(-γt)+h₀-(v₀/γ)
ここでもしh₀-(v₀/γ)＞0ならばｈ＞h₀-(v₀/γ)なので
この場合もAとBは出会えません。
したがって、A、Bが出会える条件は　
h₀＜(v₀/γ)　
ということになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

返信が遅くなりました。申し訳ありませんでした。

出会う条件が=で何かするということしか頭になかったです。不等式により条件を考えるということですね。

一番参考になりました。

ベストアンサーです。

お礼日時：2024/11/23 22:50

No.4 回答者： bathbadya 回答日時： 2024/11/15 17:20

No.1です。

速度ＭＡＸは、次の式で求められます。
　Ｖmax＝ｍ/ｋ・ｇ
でも、同じ球体でも、大きさや重さで、速度ＭＡＸは変わってきます。

「終端速度」で調べるといいかな？？？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/14 21:11

No.2 です。

理論上は、t→∞ になったときに「終端速度」でＡさんとＢさんの速さは一致しますが、「t→∞」という状態は現実には存在しません。

また、実際のスカイダイビングでは、体の開き方や抵抗の付け方によって「空気の抵抗」を調節し、異なった位置から飛び降りても「同じ速さで降下するように調節する」ことが可能です。
「抵抗係数 γ」が一定ではなく、可変であることに相当します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

wii sports resortというゲームの中にスカイダイビングがあるのですが、確かに姿勢を変えて、抵抗を調節していました。

ありがとうございました。

より物理を深く勉強していこうと思いました。

お礼日時：2024/11/14 21:22

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/14 21:06

ＡさんもＢさんも「加速度運動」で、初期位置も開始時間も異なるので、

「ある瞬間」に交差はしますが、「一緒に降下する」ことはありません。

そもそも「同じ速さになる」という瞬間はありません。
降下開始時間が異なれば、常に「速さ」が異なります。

その上で、いつ、どこで交差するかは、初期条件によって決まります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

やはり、上手くいきませんよね。geogebraでぐγやmにﾃｷﾄｰな値をいれてグラフを描いても上手くいきませんでした。

教授のオリジナル問題で解答もなければ、調べてもただの落下運動や速さの2乗に比例する運動しかでてきませんでした。
GPTにきいてもなんか変な回答がかえってきました。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/11/14 21:19

No.1 回答者： bathbadya 回答日時： 2024/11/14 21:06

あのう～

＞はるか上空から降下
ってことは、Ａさんは、速度ＭＡＸですね。
Ｂさんが、加速して、速度ＭＡＸになるまでの時間を計算して、
その時間のＡさんの移動距離を求める。

気がするんだけど、空気抵抗係数が分からないから、速度ＭＡＸが計算できないのでは？
確か、空気抵抗は速度の自乗に比例するんだっけ？？？

この回答へのお礼

2乗の項はありません。ただ空気抵抗があるだけのようです。

問題文にはないですが、同時に降下していってパラシュートを開いたら2乗の項はでてくるかもしれませんね。

お礼日時：2024/11/14 21:09