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物理学、力学に詳しい方に質問です。
2人のスカイダイバーAさん,Bさんの運動を考えます。
BさんはAさんよりも遥か上空から降下するとします。与えられた文字はm,γ,t,g
Bさんがはるか上空から降下し、Aさんと隣り合って降下したい。AさんはBさんがどれだけ上方に来たときに飛び下りればよいのか。Aさんは静止状態から飛び降りる。
(問題文にはBさんの初期条件は書かれていなかったです。ここでは初速0で降下し始めたものとします。また、Aさん,Bさんの位置に関する初期条件も書いてありませんでした。)
Aさん.Bさんも空気抵抗による力と重力のみを受けます。Aさんの速度u,Bさんの速度vとする。
Bさんが飛び下りた時刻をt=0とすれば、運動方程式は
Bさん mv’=-mg-mγv ,v(0)=0
v=g/γ{exp(-γt)-1}
Aさんも同じ力を受けるので
mu’=-mg-mγu
ここからわかりません。どうにかして、
(Aさんの位置)=(Bさんの位置)
という方程式になって、一緒に降下し始める時刻を得ても初期条件がなくても、どれだけ上方に来たか、求まるのでしょうか。
初め、Bさんをh+HにいてAさんをはじめhにいたとした場合も考えましたが、上手くいきませんでした。(H>>h)
そもそもBさん降下した後にAさんは初速を与えずに追い付くのでしょうか。
読みにくくてすみません。
No.5ベストアンサー
- 回答日時：
ＢさんがＡさんに追いつくかどうかという問題なので
2人の高さの差の時間変化について考えてみるのもよいかも：
Ａ、Ｂのそれぞれの速度（上向き正）をvA、vBとすれば
それぞれの方程式は
vA'=-g-γvA, vB'=-g-γvB ('は時間微分)
これらを辺々引くと
d/dt(vB-vA)=-γ(vB-vA) よりvB-vA=Ce^(-γt)・・・①
いま、A、Bともに初速度0なら①よりC=0だから各時刻で
vB-vA=0、なのでA、Bの高さの差＝ｈとしたとき
dh/dt=vB-vA=0、よりh＝一定つまり最初あった高低差を
いつまでも縮められないということになる。
なので今度はAの初速0、Bの初速度を-v₀つまり下向きにv₀
とすれば
①からvB-vA=-v₀e(-γt), dh/dt=-v₀e(-γt), h=(v₀/γ)e(-γt)+D
となって、最初の高さの差＝h₀とすれば
h＝(v₀/γ)e(-γt)+h₀-(v₀/γ)
ここでもしh₀-(v₀/γ)＞0ならばｈ＞h₀-(v₀/γ)なので
この場合もAとBは出会えません。
したがって、A、Bが出会える条件は
h₀＜(v₀/γ)
ということになります。
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回答ありがとうございます。
返信が遅くなりました。申し訳ありませんでした。
出会う条件が=で何かするということしか頭になかったです。不等式により条件を考えるということですね。
一番参考になりました。
ベストアンサーです。
No.4
- 回答日時：
No.1です。
速度ＭＡＸは、次の式で求められます。
Ｖmax＝ｍ/ｋ・ｇ
でも、同じ球体でも、大きさや重さで、速度ＭＡＸは変わってきます。
「終端速度」で調べるといいかな？？？
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No.3
- 回答日時：
No.2 です。
理論上は、t→∞ になったときに「終端速度」でＡさんとＢさんの速さは一致しますが、「t→∞」という状態は現実には存在しません。
また、実際のスカイダイビングでは、体の開き方や抵抗の付け方によって「空気の抵抗」を調節し、異なった位置から飛び降りても「同じ速さで降下するように調節する」ことが可能です。
「抵抗係数 γ」が一定ではなく、可変であることに相当します。
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回答ありがとうございます。
wii sports resortというゲームの中にスカイダイビングがあるのですが、確かに姿勢を変えて、抵抗を調節していました。
ありがとうございました。
より物理を深く勉強していこうと思いました。
No.2
- 回答日時：
ＡさんもＢさんも「加速度運動」で、初期位置も開始時間も異なるので、
「ある瞬間」に交差はしますが、「一緒に降下する」ことはありません。
そもそも「同じ速さになる」という瞬間はありません。
降下開始時間が異なれば、常に「速さ」が異なります。
その上で、いつ、どこで交差するかは、初期条件によって決まります。
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回答ありがとうございます。
やはり、上手くいきませんよね。geogebraでぐγやmにﾃｷﾄｰな値をいれてグラフを描いても上手くいきませんでした。
教授のオリジナル問題で解答もなければ、調べてもただの落下運動や速さの2乗に比例する運動しかでてきませんでした。
GPTにきいてもなんか変な回答がかえってきました。
ありがとうございました。
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