三次関数の立法完成の本質的な?意味と、高校数学でのその活用について教えてください。
高校の先生に説明したんですが、全然納得いかない説明で、変曲点の話にすぐに帰着してしまって、立法完成自体の説明になっていませんでした。
どなたか教えてくださると幸いです。

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A 回答 (1件)

高校の先生がどういう説明をしたか分かりませんが、


2次間数の平方完成は結局頂点の平行移動です。
従って、3次関数の場合、y=a(x-p)^3+b(x-p)+q
と立法完成すれば、やはり変曲点が原点から(p、q)に平行移動すると考えるのが自然な理解だと思います。
2次関数の基本形式y=ax^2に対応するものが、
y=ax^3+bxということです。
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Q立方完成,N乗完成は存在するの?

数学で平方完成というのがありますが、それなら立方完成というのは存在するのでしょうか?
また、4乗完成や5乗完成というのは存在するのでしょうか?

Aベストアンサー

 平方完成では、例えばxに関する二次式を (x+a)^2 + b という形に変形します。

 一般的には、x^2 + ax + b = (x + a/2)^2 + (b - a^2/4)

※ 最後の(  )はなくてもいいのですが、定数項をまとめてあります。
※ x^2 の係数が 1 でないときは、全体をその係数で割ったもので考えればよい。

 さて、「立法完成」というのを、「xに関する3次式を  (x+a)^3 + b というかたちに変形する」ということとすれば、一般的にはできません。
  (x+a)^3 + bx + c のように、あまりをxの一次式にするならできます。

x^3 + ax^2 + bx + c = (x + a/3)^3 + (b - a^2/3)x + (c - a^3/27)

これは、x^3 + ax^2 + bx + c というしきと、(x + p)^3 を展開した式とを比べればでてきます。

4次式以上でも同じようにできるはずですから、考えてみてください。

Q立体完成について質問です。

三次方程式について勉強しようとしたのですが、立体完成でいきなり躓きました。
平方完成が
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
yを1/2aに置き換えると
(x+1/2a)^2 = x^2 + ax + 1/4a^2
x^2 + ax = (x+1/2a)^2 - 1/4a^2
x^2 + ax + b = (x+1/2a)^2 - 1/4a^2 + b

立体完成は
(x+y)^3=x^3 + 3yx^2 + 3y^2x + y^3
yを1/3aに置き換えると
(x+1/3a)^3 = x^3 + ax^2 + 1/3a^2x + 1/27a
x^3 + ax^2 = (x+1/3a)^3 - 1/3a^2x - 1/27a
x^3 + ax^2 + bx + c
= (x+1/3a)^3 + (b - 1/3a^2)x + c - 1/27a

になる気がしたのです。
これは間違いらしいのですが、どこで間違えてしまったのかが分かりません。
こんなレベルで申し訳ありませんが、分かりやすく説明していただけたら助かります。

Aベストアンサー

右端の a に 3乗 がつけ忘れ。それだけですよ。
一次項も x+(1/3)a をカタマリにすると
もっと良いような気もするけど、それは好きずき。


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