１０底のlog2の数値

このカテゴリーでよろしいんでしょうか。

よく考えれば思い出すかもしれないのですが。

対数表がなく１０底のlog2の数値。

即ちy=logx (10底でｘ＝２）を有効数字５個

位にまで得る方法で中学生でもわかるような

解法はありますでしょうか。


要領の悪いご質問ですみません。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#19971 回答日時： 2005/06/19 16:07

A=log_10(2)

と置くと、対数の定義から、10^(A)=2ですね。
Aを求めるには、10を何乗したら2になるかを求めれば良いわけです。

右辺2は1より大きく10より小さい数なので、Aは0から1の間の数になります。
また、10^(1/2)=√(10)=3.162なので、Aは0から0.5の間の数だと絞り込めます。

とりあえず、A=0.3だとしましょう。
10^(0.3)=10^(3/10)=(10)√(10^3)=(10)√(1000)
となります。『10の3乗の10乗根＝1000の10乗根』ですね。
この答が「２」になってくれれば、A=0.3で正しいということになります。
確認のために、2を10乗してみましょう。
答は『1024』です。1000より大きな数字になってしまいました。
ということは、1000の10乗根は、2より小さい値であるということです。
さらに、A=0.3では、ちょっと小さいということも分かります。

では、A=0.31ではどうでしょう？
10^(0.31)=10^(31/100)=(100)√(10^(31))
・・・『10の31乗の100乗根』という、とんでもないものを求めなくてはならなくなりました。。

事実上、手計算で100乗するなんて不可能なので、A=0.3まで求まれば充分だと思います。
有効数字5桁を中学生が出すのは、普通に考えて無理でしょう。

ちなみに、「1000の10乗根」は1.99526、「10の31乗の100乗根」は2.04173で、log_10(2)は0.30103です。

この回答へのお礼

有難うございました。
とても判りやすいです。
これを基本に今暗算？を繰り返してみています。
エレガントな暗算方法ｈないかなあ。
有難うございました。

お礼日時：2005/06/23 14:13

No.5 回答者： koma1000nin 回答日時： 2005/06/20 13:43

まず、No2さんのやり方を頭に置いてください。

No2さんは、最初に

0<y<1

と推定をつけました。次に、y=0.3と推定しましたが、これを0と1の中間のy=0.5（1/2）に変更します。
すると、10の0.5乗は√10ですから、3.1622…になります。従って、

0<y<0.5

となります。今度は0と0.5の中間y=0.25を考えます。0.25は1/4ですから、1/2×1/2です。つまり、√√10すなわち平方根のまた平方根ということで、1.7782…になります。従って、

0.25<y<0.5

となります。今度は0.25と0.5の中間y=0.375を考えます。これは3/8です。数直線の上で調べればわかりますね。こんどは√√√10を求めてそれを3乗することになります。その答えは2.3713…になります。従って、

0.25<y<0.375

となります。今度も同様に0.25と0.375の中間y=0.3125を考えます。これは5/16です。こんども√√√√10を求めてそれを5乗することになります。その答えは2.0535…になります。従って、

0.25<y<0.3125

になります。
こうやって、数直線上の推定位置を半分，半分…にせばめていくと、遂には近似値

0.301…<y<0.301…

が見えてきますので、どこまでが正しい桁であるかを判定できます。
このやり方は、情報処理教育の入口につながっていて、とても大切な考え方です。

この回答へのお礼

よめてきました。
有難うございました。
ありがたいです。有難うございます。
変参考になりありがたく思っております。
有難うございます。感謝いたします。

お礼日時：2005/06/23 14:09

No.4 回答者： string 回答日時： 2005/06/19 23:37

taka-minichiiさんがおっしゃっている内容で正しいです。

その補足です。

まず、log2の小数点第1位を決めましょう。
仮に
10^{0.3}<2<10^{0.4} (←1つの例として挙げただけです)
を示すことができたとすれば、log2=0.3...である
ことがわかります。
もし、
10^{0.4}<2<10^{0.5} (←1つの例として挙げただけです)
を示すことができたとすれば、log2=0.4...である
ことがわかります。

では、10^{0.3}と2はどちらが大きいでしょうか？
そのためには両方10乗した10^3と2^{10}を比べれば
よいのです。10^3=1000、2^{10}=1024なので、
10^{0.3}<2<10^{0.4}
であることがわかります。
これで小数点第1位が決まりました。

同様にして、2^{100}を計算すれば、
2^{100}=1.26765×10^{30}
なので、
10^{0.30}<2<10^{0.31}
ということがわかり、log2=0.30...であることが
わかります。
ここで、注意して欲しいのは小数点第2位を求めるのに
2^{100}の正確な値はいらないということです。桁数のみわかればよいのです。桁数だけを求めるのならば意外と楽です。

よって、小数点第5位まで求めるには、2^{100000}の
桁数を求めればよいのです。
数学の得意な中学生ならばできないことはないです。

この回答へのお礼

ありがたいです。有難うございます。
変参考になりありがたく思っております。
有難うございます。感謝いたします。

お礼日時：2005/06/23 14:10

No.3 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/06/19 18:38

#1>?

X=(x-1)/(x+1)として
log(e)x=
2{X+X^3/3+X^5/5…}

例えば、
log(e)2を求めるとすると
Ｘ＝（２－１）／（２＋１）＝１／３
Ｘ＾３＝Ｘ＊（１／３）＾２
Ｘ＾５＝Ｘ＾３＊Ｘ＾２
Ｘ＾７＝Ｘ＾５＊Ｘ＾２
というように
前の計算の値をうまく利用しながら電卓で２乗と掛け算と割り算をしながらＭ＋していって最後に＊２してやればもとまります。
X:0.33333333333333
X^3/3:0.01234567901235
X^5/5:0.00082304526749
X^7/7:0.00006532105298
X^9/9:0.00000564502927
X^11/11:0.00000051318448
X^13/13:0.00000004824811
X^15/15:0.00000000464611
X^17/17:0.00000000045550
X^19/19:0.00000000004528
X^21/21:0.00000000000455
X^23/23:0.00000000000046
X^25/25:0.00000000000005
これらを足して２掛けると
0.693147181ぐらいになります。
同じようにして１０の場合を求めますが
１０の場合５０個目ぐらいまで計算しないとダメかも
エクセルを使うと簡単です。（ていうかエクセルでＬＮ（Ｘ）が計算できるしＬＯＧ（Ｘ）も計算できるけど。それはいわない約束ですね＾＾；）

この回答へのお礼

うーん。
ありがたいです。有難うございます。
大変参考になりありがたく思っております。有
難うございます。感謝いたします。

お礼日時：2005/06/23 14:10

No.1 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/06/19 12:54

log(10)x=log(e)x / log(e)10

X=(x-1)/(x+1)として
log(e)x=
2{X+X^3/3+X^5/5…}
を地道に計算する

この回答へのお礼

?

お礼日時：2005/06/19 13:16