３,４次モーメント

こんにちは。３次、４次のモーメントを　（Y=Sigma(X(i)), X(1),,,,X(n)は独立のとき）をもとめたいのですが、分かりません。
特に、なぜE[Y-E(Y)^3]=SigmaE[X(i)-E(X(i))^3]なのに、E[Y-E(Y)^４]=SigmaE[X(i)-E(X(i))^４]にならないのかが分かりません。ご教授ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2006/10/05 23:40

X(i), Yから平均を引いたものを新しい確率変数x(i), yとします

　x(i) = X(i)-E[X(i)]
　y = Y-E[Y]

すると E[x(i)]=0 だがn≧2 のとき一般に E[x(i)^n]≠0 であることに注意します。y^3 を展開すると

y^3 = Σx(i)^3 +3Σx(i)^2・x(j) +6Σx(i)x(j)x(k)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(i≠j≠k)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(1)

ここでΣx(i)x(j)x(k)などは順序は区別せずに、i,j,k の異なる組み合わせについて和を取るものとしています。i≠j≠kのとき
　E[x(i)^2・x(j)] = E[x(i)^2]E[x(j)] = 0
　E[x(i)x(j)x(k)] = E[x(i)]E[x(j)]E[x(k)] = 0
なので(1)式の両辺の和を取ると
　E[y^3] = ΣE[x(i)^3]
が成立します。しかしy^4 を展開すると

y^4= Σx(i)^4 +4Σx(i)^3・x(j) +6Σx(i)^2・x(j)^2
　 +12Σx(i)^2・x(j)x(k) +24Σx(i)x(j)x(k)x(l)
　　　　　　　　　　　　　　　　　(i≠j≠k≠l)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(2)
となってx(i)の１次を含まない項x(i)^2・x(j)^2が出てきます。これの平均は０になりません。したがって(2)の両辺の平均をとると

E[y^4]= ΣE[x(i)^4] +6ΣE[x(i)^2]E[x(j)^2]　…(3)
　　　　　　　　　　　　　　　　　(i≠j)
5次以上のモーメントについても平均が０にならない
x(i)^3・x(j)^2などが出てくるので
E[y^k]≠ ΣE[x(i)^k]　(k≧4)
x(1)…x(n)がxと同じ分布に従うとき(3)より

E[y^4]= nE[x^4] +6n(n-1)E[x^2]^2　…(4)
　
xが平均０、分散σ^2の正規分布であるとすると
E[x^4] = 6σ^4
なので
　nE[x^4] +6n(n-1)E[x^2]^2 = 6n^2 σ^4
一方yはよく知られているように平均０、分散nσ^2の正規分布になるので
　E[y^4] = 6n^2 σ^4　　
となって(4)が確認されます。　

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2006/10/06 21:35

下の回答でx(1)…x(n)がxと同じ分布に従うとき(3)の

ΣE[x(i)^2]E[x(j)^2]はn個の中から異なる二つを選ぶ組み合わせなので(4)は

E[y^4]= nE[x^4] +3n(n-1)E[x^2]^2　…(4)

とすべきでした。またE[x^4] = 3σ^4
なので
　nE[x^4] +3n(n-1)E[x^2]^2 = 3n^2 σ^4

　E[y^4] = 3n^2 σ^4

に訂正させて頂きます。

No.1 回答者： F_P_E 回答日時： 2006/10/05 08:24

はじめまして。

記号の定義を教えていただかないと、こちらとしては何も答えられません。

一体Sigmaとはなんですか？分散（2次モーメント）とは思いましたが、今考えているのはn変数。本当に2次モーメントであるなら、Sigma(Xi)とありますが、Sigma(Xi,Xj)の方が適切な気がします。

また、SigmaEとは何ですか？？