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A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
を証明するときには, X と Y の同時確率密度 (分布) を使わないとだめです.
つまり, 左辺は
Σ_i Σ_j (x_i + y_j) Pr(X = x_i & Y = y_i)
としなきゃならないことに注意しましょう. これを
Σ_i Σ_j (x_i + y_j) Pr(X = x_i) Pr(Y = y_i)
としたらアウト.
まぁ, 和のときには (最終的に) 同じなんですけどね.
No.1
- 回答日時:
証明の方針として,
まず,一次式の平均の場合,
Y=aX+bとして,(Yは確率変数)
Y=ax+bとX=xについて,それぞれの成立する確率を見ます.(これはa=0でないとき,同値条件ですから等しくなります)
あとは,期待値の定義にそってE(Y)を順々に計算していくと,主張が導かれます.
次に,和の場合,
期待値の定義を使って,計算すればでます.
考えにくい場合は,一旦,確率変数Xのとる値xiとYのとる値yjについて,i,jを動かしたときにxi+yjが常に異なる場合について考察してみると良いでしょう.
ちなみに,期待値の定義とは,
確率変数Xのとりうる値をxi(i=1,…,n)としたとき,
E(X)=Σ[i=1,n](P(X=xi)xi)
で定められる値を言います.
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