
平均値からの「偏差の絶対値の総和」を平均偏差
平均値からの「偏差の2乗和」を標準偏差と定義します。
この「偏差の2乗和」を最小にする定数は平均値で、
「偏差の絶対値の総和」を最小にする定数は中央値です。
まず一つ、このことを感覚的に理解できるのですが、証明することが出来ません。
どなたか出来る方はいらっしゃいますか?
そして、
正規分布では中心に平均値がくるいう前提よりも、
中心に中央値がくるという前提の方が、正しいと思います。
度数的に中央に来るべきは平均値ではないからです。
たしかに、正規分布は理想の分布であり、平均値=中央値が前提ですが、
実際の有限サンプルを元に検定する際に、
その平均を中心に持っていくよりも、中央値を中心に持っていき、
標準偏差SDではなく、平均偏差MDを使用した方が、より理想的になると感じます。
この考えは間違っているでしょうか。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)二乗和の方は、S=Σ(xi-k)^2(i=1~n)として、kで偏微分して、∂S/∂k=-Σ2(xi-k)=0でΣxi=Σkなのでk=Σxi/nとなり、平均値が最小の条件です。
(2)絶対値の和の方は、S=Σ|xi-k|ですが、ここで、xt<=k<=x(t+1)とすると、S=(2t-n)k-Σxi(i=1~t)+Σxi(=t+1~n)で、kで偏微分して、∂S/∂k=2t-n=0でt=n/2なので中央値が最小の条件に成ります。有難うございます。
同じようなところまでは考えられたのですが、
(質問してからもずっと考えてました)
(2)絶対値編で、偏微分する際に、
t(正確にはXt)を定数のように扱ってますが、
これは、kの動きによって変化するので、
tをkで表す必要があるように感じました。
Xt<=k<=X(t+1)なので、
XiをN次変数だと仮定し、積分するといった動作が必要な気がするのですが。。。
定数と置いていいものでしょうか。
ご返答有難うございます。
No.2
- 回答日時:
私も以前、同じような悩みを持ったことがあります。
当時、学生で、教授に聞いたりもしたものですが、
初めに使った人がそうであったから、という答えでした。
ですが、No1さんの回答が正解だとすれば、
理論的にSDを使わなければならないということになりますよね。
偏微分をする際に、下で言うkの値とtの値を考慮しなければならないとしても、
xの変動そのものがN次式だとは限らないわけですし、
お二人ともアプローチはいいのでしょうが、どこか違っている気がします。
かといって、どうすればいいかはわかりません。(すみません)
非常に気になります。。。
有難うございます。
もう少し、回答頂けるのを待とうかと思います。
出版されている教科書等も読んで見たのですが、
やはり、視点が少しずれているためか、これといった解答が見当たりません。
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