正規分布の確率密度関数の導出

Question

正規分布の確率密度関数
f(x)=1/√(2π)σ exp(-(x-μ)^2/2σ^2)
(わかりにくくてすいません)
の導出方法を教えてください。
導出方法が書いてあるページでもいいです。
よろしくお願いします。

masuda_takao · Accepted Answer

大変遅くなりました。No. 2 です。
　身体を壊して倒れていたり、忙しかったりなどして、こんな時期になってしまいました。

　導出法の一つの概略を示します。

　測定値 x_i（i ＝ 1, 2,..., n）の、真の値 X からのズレ e_i ＝ x_i - X の分布を考えます。
　その確率密度関数を f(x) とします。
　誤差が e と e + de の間にある確率は f(e)de で表現されます。
　n 回の観測を行って、誤差が e_i（i ＝1, 2,..., n）となる確率は
f(e_1)・f(e_2)・...・f(e_n) (de)^n
...で、f(e_1)・f(e_2)・...・f(e_n) を P とおくと、この P は
dP/dX ＝ 0
...を満たすことが必要です。

　さて、ln(P) の微分を考え、f'(x)/f(x) ＝ g(x) とおくと、e_i ＝ x_i - X に注意して
-1/P・dP/dX ＝ g(e_1) + g(e_2) +...+ g(e_n) ＝ 0　...[1]
を得ます。
　ここで n が充分大きいとき e_1 + e_2 +...+ e_n ＝0 であること（誤差には正負があるものの、その正負が対等に起こること）を仮定すると、
∂e_n/∂e_i ＝ -1（i ＝ 1, 2,..., n-1）　...[2]
...です。ここで [2] を用いて [1] を e_i で微分すると
g'(e_i) + g(e_n)・∂e_n/∂e_i ＝ 0
より
g'(e_i) ＝ g(e_n)
...、即ち g'(e_1) ＝ g'(e_2) ＝...＝ g'(e_n) を得ます。
　充分多数の e_i（i ＝ 1, 2,..., n）に対して g'(x) は等しいので、g(x) は定数であると（近似的に）考えられます。
　このとき、定数 a, b を用いて g(x) ＝ ax + b の形に出来ます。
　これを [1] に用いれば b ＝ 0 を示せます。

　さて、g(x) ＝ f'(x)/f(x) でした。
　b ＝ 0 と併せて、f'(x)/f(x) ＝ ax から f(x) ＝ C・exp(ax^2/2) を得ます。
　あとは、規格化条件（全区間での曲線下面積が１）と x → ±∞ で f(x) → 0 となることを用いれば、a ＝ -k^2 となる定数 k が存在して、定数 C の値も k で表せます。
　結果は、f(x) ＝ k/√π・exp(-k^2・x^2) です。

　これは、係数の相違を除けば正規分布の確率密度関数です。
　あとは、k ＝ 1/√2・σ、x → x - μ とすれば、所望の式ですね。

　これ以外の方法もありますが、力尽きましたｗ
　誤差論の本などに、色々紹介があるかも知れません。探してみて下さい。

masuda_takao · Answer

正規分布の確率密度関数を導出する方法は存在します。
　ただ、時間の都合で今は詳細を書けませんw

　関数そのものの導出だけなら、誤差に関する議論から可能です。
　時間が出来たとき（３日後程度）に、後ほど記します。
　この相談サイトは展開が速く、過去記事の発見に当方の通常の閲覧環境では支障をきたしているため、当方のマイページにリマインダーを残させてください。

zk43 · Answer

導出方法といっても、定義なのですが・・・

ガウスが何かの数値測定（具体的に何かは忘れた）をやっていて、
誤差を測定すると、その分布がexp(-x^2)のような曲線になること気づ
いて導入したのが最初だったと思います。そのため、ガウス分布とも
呼ばれます。

∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√πを利用して、平均がμ、標準偏差がσ、
-∞から∞の積分値が１になるように係数などを調整したものと
思います。

中心極限定理からも分かるとおり、もっとも基本的で重要な
分布と思います。

正規分布の確率密度関数の導出

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正規分布の確率密度関数を導出する方法は存在します。

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