3点を通る曲線の求め方

3点を通る曲線の求め方を教えて下さい。
お願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2006/12/05 21:04

いろんな回答が出ているので、僕は最も簡単な与えられた3点を通る多項式の導出を紹介します。

他の方もご指摘されていますが、一般にn点与えられたとき、そのn点を通るn-1次の多項式はただ一通りに決まります。方程式を真面目に解くという方法でも出ますが、面倒です。そこで発見的な方法を紹介します。一般の場合も同じですから、n=3の場合にやってみます。点(a,p),(b,q),(c,r)の3点を通るものとしましょう。

f(x)={p(x-b)(x-c)}/{(a-b)(a-c)}+{q(x-a)(x-c)}/{(b-a)(b-c)}+{r(x-a)(x-b)}/{(c-a)(c-b)}

とおきます。f(a)を計算すると、第2項、第3項はうまく消えます。そして、第1項は分母と分子がうまくキャンセルしてpが残ります。同様にf(b)=q，f(c)=rというわけです。2次より大きくてもよいなら解は無数にあります。また多項式に限らない場合もたくさんの解があります。が、いずれにせよ、有限個の与えられた点(ただしx座標はすべて異なるものとする)を通る曲線を単に求めよ、といわれれば、これが最も簡明な公式だと思いますよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
参考にします。

お礼日時：2006/12/08 16:19

No.6 回答者： noname#22222 回答日時： 2006/12/05 16:38

スーツのデザイナでプログラマではありません。

が、昨今は、作図もＣＡＤを利用することが珍しくありません。
例えば、米国ＧＧＴ社のＣＡＤは、もっともメジャーかと思います。
さて、１０数年前に、興味もあって同ＣＡＤの軌跡を再現したことがあります。
準エミトール補間式（Akimaの方法）が使われていました。
ところで、私のような素人がＣ言語でそういうのを書けたのには理由があります。
それは、その手の本からフォートランのコードを見つけたからです。
手元にコピーがありますが、いかんせん、タイトルが不明。
「第一編、数値計算、第７章、補完・近似」までしか判りません。
この本のタイトルさえ判れば、後は、移植あるのみです。
誰か、「あっ、それ知っている」という回答者が出ればいいですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞誰か、「あっ、それ知っている」という回答者が出ればいいですね。
そうですね。

お礼日時：2006/12/08 16:19

No.5 回答者： chie65536 回答日時： 2006/12/05 15:57

「３次スプライン関数」か「３次スプライン曲線」でググってみましょう。

多分、やりたい事は「曲線上の幾つかの（または３つの）サンプル点を用いて、曲線を補間する」だと思いますので。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞やりたい事は「曲線上の幾つかの（または３つの）サンプル点を用いて、曲線を補間する」だと思いますので。
そうです！。それ以外にもあるのですね（苦笑）
ググってみます！。

お礼日時：2006/12/05 16:12

No.4 回答者： velvet-rope 回答日時： 2006/12/05 15:52

No.3のものです。

誤りがありました。
私があげた一般式は2次曲線に限った話です。失礼しました。
xyzの次数が指定されていない以上、「曲線」だけでは回答が得られない、ということを言いたかったのですが・・・

No.3 回答者： velvet-rope 回答日時： 2006/12/05 15:49

一般的に、曲線は

　ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx+gx+hy+iz+j=0(a～jは定数)
と表されるので、3点(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(x3,y3,z3)を通るとすれば、これらをx、y、zに代入してa～jを求めるのですが、未知数10個に対して方程式を3つしか立てられないので、一般的には3点を通るという条件だけでは曲線は定まりません。しかし、私のこの回答が、質問者様の期待するものとは思えません。

老婆心ながら・・・
どんな曲線かを明示しなければ、質問者様が期待される回答は得られないでしょうね。
xy平面上の円なのか、放物線なのか、あるいはxyz空間上の円なのか。列挙すればきりがありません。
質問をして回答を得ようとしているには、あまりにも文章が足りなすぎです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
別の回答者様に書かれましたが、
「曲線上の幾つかの（または３つの）サンプル点を用いて、曲線を補間する」事がしたいのです。
これだけではないのですね。

お礼日時：2006/12/05 16:10

No.2 回答者： neKo_deux 回答日時： 2006/12/05 15:38

求める曲線の式の形を仮定して、式のパラメータを計算または推定します。

２次関数で、３点がバラバラなら、パラメータは一意に求まります。
点が縦に並んでいれば、２次関数は当てはまりません。
それ以上の式だと、解は無数にあります。

この回答へのお礼

早急の回答ありがとうございます。
２次関数で、３点がバラバラなら、パラメータは一意に求まります。
できれば、公式を教えてもらえないでしょうか？

お礼日時：2006/12/05 15:43

No.1 回答者： hagewashi 回答日時： 2006/12/05 15:36

こちらは、どうでしょう・・・？

↓↓↓

http://www.kawa.net/97/works/nameraka/3-points.h …

この回答へのお礼

早急の回答ありがとうございます。
URL行ってきました。難しいですね。仕事で（PG）で使用しようと
思っていますが、こんなに難しいのですか！。
もっと簡単だと思っていました。

お礼日時：2006/12/05 15:42