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たとえば3桁の整数で「351」だったら、それぞれの位の数字を足すと3+5+1=9になります。
この数字が9で割り切れることができれば、もとの数字「351」も9で割り切れるというのをご存知の方も多いと思いますが、これってなんでそうなるのか分かる方いらしたら教えてください。
宜しくお願いします。

A 回答 (9件)

簡単のために 3桁の数で。


100の位の数をa
10の位の数をb
1の位の数をcとします。
そうすると
すべての3桁の数は
100a+10b+c であらわせます。
続いてこの式を変形しますと、
100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a+9b+(a+b+c)に注目してください。
99aと9bは9の倍数ですね。
となると(a+b+c)が9の倍数ならば99a+9b+(a+b+c)は9の倍数になります。ここでa+b+cは各桁の数の和なので3桁の数は各桁の数の和が9の倍数ならば 9で割り切れることが証明されます。

同様に4桁
1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
5桁
10000a+1000b+100c+10d+e=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
6桁、7桁…とどの桁でも通用することが想像できます。

昔、確か…千葉大学の過去問でこの証明を見た気がします。
あと京都大学の過去問で7の倍数に関するこの手の証明を見た気がします。なかなかきれいな証明で好きです。
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「九去法」でグーグル検索すると、解説やら応用やらがいっぱい出てきます。


かなり詳しく解説しているページがあるので、ここの回答を読むより早いです。
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興味がありましたら、こちらもどうぞ



割り切り判定法
http://yosshy.sansu.org/warikire.htm

もっと分りやすいサイトがあったんですが、
どこだったかな?
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s_husky です。


撤回!
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351=3*(99+1)+5*(9+1)+1



上の式から、たぶん3も5も1も、9で割ったあまりになると思いますので、そのあまりが9で割れれば割り切れる、ということじゃないかと思います。
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351というのは3×100+5×10+1×1 です。


ここで、10^n -1は9の倍数です。(因数分解により証明。直感的にも分かりますね。)
したがって、3×99+5×9 は、各位が何であろうと9の倍数です。
ゆえに、3+5+1 が9の倍数であれば元の数も9の倍数になるのです。
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各位の数を足すと9の倍数になる場合、その数は9の倍数になります。


証明は簡単です。

n桁の整数をa1、a2、・・、anとすると、その整数は
a1×10^(n-1)+a2×10^(n-2)+・・・+an×10^0
とあらわされます。これを下記のように変更します。
 {a1×(10^(n-1)-1)+a2×(10^(n-2)-1)+・・・+an×(10^0-1)}
  +{a1+a2+・・・+an}
PCでは表現がややこしいので、ご自身で紙に書かれることをお勧めします。
{a1×(10^(n-1)-1)+a2×(10^(n-2)-1)+・・・+an×(10^0-1)}
の部分が9の倍数であるので、{a1+a2+・・・+an}が9の倍数ならこの数は全体で9の倍数となります。
そして、{a1+a2+・・・+an}は各位の数の和になります。

※10^(n-1)-1が9の倍数になる理由がわからないようであれば、もう一度ご質問ください。

同様に各位の数を足すと3の倍数になる場合、その数は3の倍数になることも示せます。
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これは、 351 = 3×100 + 5×10 + 1 という見方が必要です。


ここで、 100 = 99 + 1 , 10 = 9 + 1 ですから、
351 = 3×(99 + 1) + 5×(9 + 1) + 1 です。
分配法則というのがあって、例えば、
2×(3+4)=2×3+2×4 と足し算とかけ算が混ざっている場合に、この形のものは、括弧を外すことができます。
つまり、
351 = 3×99 + 3 + 5×9 + 5×1 + 1 です。
ここで、351 を 9 で割ると、3×99 や、5×9 は当然、9で割り切れますから、あまりは、3 + 5 + 1 つまり、各桁の数字になります。

つまり、一般に、各桁の数字の合計は元の数字を9で割ったときの余りになります。(各桁の数字の合計が2桁いじょうになったら、同じように計算して、最後は一桁になります)
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531は9で割り切れませんが・・・。

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Q足すと9になる三桁の数が9で割れるのはなぜ?

足すと9になる三桁の数が9で割れるのはなぜでしょうか。じつはあまり深く考えずに使っていたのですが、小学生のいとこに尋ねられたときに答えられなかったのです。いろいろ証明しようと思えば出来るのでしょうが、小学生の頭にもになじむ説明の仕方が見つかりません。いとこは小学四年生です。どうぞ宜しくお願いします。

Aベストアンサー

例えば、327を 300 + 20 + 7 のように百桁の数(A)、十桁の数(B)
一桁の数(C)のように分解します。
そうすると例えば 300 を9で割った余りは 3、20 を9で割った時の
余りは 2、7 を9で割った時の余りは 7 というように余りの数は桁の
数字に同じになるので、余りを足して9で割り切れるならそれは9の倍数
ということになります。
つまり、

A+B+C = X+(百桁目の数字)+ Y+(十桁目の数字)+ Z+(一桁目の数字)
(X,Y,Z はそれぞれ9の倍数)

と考えることができ
X,Y,Z が9の倍数なら、それらの足し合わせた数も9の倍数です。
(百桁目の数字)+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字)が9で割り切れる
なら、(百桁目の数字)+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字) も9の
倍数になるので、全てを足し算した A+B+C は9の倍数。つまり9で割り
切れるということになります。
小学4年生が倍数や、9の倍数を足し算した結果がやはり9の倍数になる
ということが分からないと説明は難しいけど、200を9で割ると余りが
2になるというちょっと不思議な性質を考えてもらうといいかもしれません。

例えば、327を 300 + 20 + 7 のように百桁の数(A)、十桁の数(B)
一桁の数(C)のように分解します。
そうすると例えば 300 を9で割った余りは 3、20 を9で割った時の
余りは 2、7 を9で割った時の余りは 7 というように余りの数は桁の
数字に同じになるので、余りを足して9で割り切れるならそれは9の倍数
ということになります。
つまり、

A+B+C = X+(百桁目の数字)+ Y+(十桁目の数字)+ Z+(一桁目の数字)
(X,Y,Z はそれぞれ9の倍数)

と考えることができ
X,Y,Z が9の倍数なら、それらの...続きを読む


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