曲率半径ってなに？？？？

曲率半径を調べても難しい語彙の羅列でイメージできません。どなたかわかる方がありましたら、お願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： zabuzaburo 回答日時： 2002/07/05 21:32

壁に大きな円を描いて写真を撮ったら、

円が大きすぎて一部(すなわち弧)しか収まらなかったとします。
この弧を見てもとの円の大きさを想像してみましょう。
もし、弧がほとんどカーブしていなくて、直線に近いようなら、
もとの円はきっとものすごく大きかったに違いありません。
これに対し、けっこう急なカーブを見せているなら
円はもっと小さいはずです。

これを応用して、カーブの度合いを表す方法として、
『そのカーブが円の一部だとしたらどんな半径の円か？』……(*)
という発想のもとに考え出されたのが『曲率半径』です。
急なカーブほど曲率半径は小さく、
ゆるやかなカーブほど曲率半径は大きくなるわけです。

もちろん、曲線が円の一部とは限りませんから、
上の(*)は厳密に正しい表現ではありませんが、
まずはこのような説明で納得してから学習を進めると良いと思います。

私が初めて習ったときは
『そのカーブにぴったりハマる円』
という表現のおかげでイメージをつかむことができました。

具体例を挙げて、いくぶん数学的に考えてみましょう。

(問)放物線y = x^2の原点における曲率半径はいくらか？

放物線を容器と見立てたとき(倒れるでしょうけど)、
底の部分に円をぴったりとはめるには
半径をいくらにすればよいか、ということです。
計算する前に予想してみてください。

この円(曲率円といいます)を求めるには、「極限」の発想を用います。
例えば、放物線上の3点A(-2, 4), O(0, 0), B(2, 4)を通る円
を求めてみましょう。
対称性から、この円の中心はy軸上にあり、P(0, p)と表せます。
このときOPは半径の1つですから、この円の半径の長さはpです。
いっぽう、PA^2 = [0 - (-2)]^2 + (p - 4)^2 = p^2 - 8p + 20
またPB^2を計算しても全く同じ式になりますが、
PAやPBだって半径ですから、PA^2 = PB^2 = p^2が成り立ちます。
すなわち、p^2 - 8p + 20 = p^2
これを解くとp = 5/2となり、
A, O, Bを通る円は「中心(0, 5/2)、半径5/2」であることが分かります。

ここで求まった円はまだ曲率円ではありません。
さて、今度はA(-1, 1), O(0, 0), B(1, 1)と3点の間隔を狭めてやれば、
さっきよりも曲率円に近い円が求まるはずです。
上と同様に自分でやってみてください。半径1になれば正解です。

同じように間隔をもっともっと狭めれば、
限りなく曲率円に近づくことが推測されますね。
これを求めるために、A(-b, (-b)^2), O(0, 0), B(b, b^2)として
一般化しましょう。
PA^2 = PB^2 = (0 - b)^2 + (p - b^2)^2
= b^2 + (p^2 - 2p・b^2 + b^4)
pで整理して
= p^2 - (2・b^2)p + (b^2 + b^4)
これがOP^2 = p^2に等しいから、
p^2 - (2・b^2)p + (b^2 + b^4) = p^2
これをpについて解くと
p = (1 + b^2) / 2
となります。先ほどの例はb = 2, a = 1の場合に当たります。
検算しておいてください。

さて、ここでbを限りなく0に近づけると、
3点A, O, Bは全てOという1点に集中し、曲率円に近づきます。
すなわち b → 0 のとき、
p = (1 + b^2) / 2 → (1 + 0^2) / 2 = 1 / 2
となりますから、結局、曲率円は
「中心(0, 1/2)、半径1/2」の円だったわけです。
予想はどれくらい当たったでしょうか(^^;)

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2002/07/06 12:52

zabuzaburo さんの見事な解説がありますので，蛇足です．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=78818
に曲率半径を求める一般公式の解説があります．

No.2 回答者： lock_m 回答日時： 2002/07/05 21:22

たとえば水晶玉があるとして、その水晶玉を適当（中途半端）な位置で切るとします。

すると片面だけ凸になったレンズができます。もう片方の面は平面（円）です。そのとき、そのレンズの曲率半径はもともとの水晶玉の半径です。ということです。
かえってわかりづらくなったらごめんなさい。

No.1 回答者： Singollo 回答日時： 2002/07/05 20:55

その曲線にぴったりフィットする円の半径