高校　三角錐に内接する球の半径

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質問者：negoto
質問日時：2010/03/04 00:01
回答数：4件

AB＝AC＝AD＝６、BC=CD=DB＝６√２である三角錐に内接する球の半径を求めよという問題で

ボクは△BCDに内接している円と考え
△BCDの面積を「２/１×６√２×６√２×sin60」で求め
△BCD＝2/1×r×（３×６√２）で計算したのですが
何度やっても答えが合いません…

どこか間違っているかわかる方解説よろしくです。

実際の答えの解説は本に載っているので大丈夫です。

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回答 (4件)

No.1

回答者： gohtraw
回答日時：2010/03/04 00:15

　△BCDに内接する円が求める球の最大断面という考えですか？それではこの三角錐の４面に内接することにはならず、大きすぎるのではない

ですか？解説に図は載っていませんか？

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
まったくもってその通りでした。

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お礼日時：2010/03/06 17:10

No.2

回答者： Tacosan
回答日時：2010/03/04 01:06

えぇと, 「△BCDに内接する円が求める球の最大断面」と考えると, その球はどうがんばっても面BCD に接しませんよね＞#1. 何しろ, 中心が面BCD 上にあるわけですから....

さておき, 私にもどういう事情で「△BCDに内接している円」が出てきたのか想像できません.

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No.3ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2010/03/04 06:40

Aから△BCDに下した垂線AH上に内接球の中心Gがあります。

またAから辺BC、CD、BDに下した垂線の足をそれぞれL、M、Nとすると、内接球は垂線AL,AM,ANおよびBMに接します。言い換えれば内接球の中心Gはこれらの垂線と等距離にあります。このことを整理すると、三角錐の対称性から、断面△ABMにおいてAH上のGから、それぞれ辺BMと辺AMに下した垂線GHと垂線GFの長さが等しいGの位置が内接球の中心Gであり、等しい垂線の長さが内接球の半径rになります。
これを式で書けば、HM=√6,AM=3√2,AH=2√3であることから
AHを内接円の半径rを使って
2√3=r+r*3√2/√6
という関係式が導けます。
これをrについて解けばいいですね。

理解しやすいように三角錐ABCDの立体と内接球Gの内接状態を3次元透視図にして添付しておきます。