A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.1
- 回答日時:
2次元座標から多角形の面積を求める公式ならありますが,
3次元座標から多面体の体積を計算する公式はまだ聞いたことがありません.
面白そうなので私も考えてみたいですが,今は時間がないので出発点のヒントだけ.
ガウスの発散定理を使うと,体積積分を面積分に変換することができます.
ベクトル場 A = (Ax, Ay, Az) = (x/3, y/3, z/3) を考えると,
div A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z = 1
となるので,発散定理を使うと多面体の体積Vは,
V = ∫{多面体全体} dV = ∫{多面体全体} div A dV = ∫{多面体全表面} A・dS
= Σ{Si∈多面体の面の集合} ∫{Si} A・dS
= (1/3) Σ{Si∈多面体の面の集合} ∫{Si} (x * dSx + y * dSy + z * dSz)
あとは各面の面積分ですが,これが厄介そうですね.
ガウスの発散定理 [物理のかぎしっぽ]
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Gaus …
"ガウスの発散定理" で検索
http://www.google.co.jp/search?q=%22%E3%82%AC%E3 …
ちなみに「"ガウスの発散定理" "多面体の体積"」で検索すると,1件しかヒットしませんでした.
http://www.google.co.jp/search?q=%22%E3%82%AC%E3 …
この回答へのお礼
お礼日時:2007/07/21 16:21
回答ありがとうございました。
体積を出すのは、相当難しいみたいですね。
3次元CADでは、どうやって体積を計算しているのでしょうか。
No.2
- 回答日時:
> 3次元CADでは、どうやって体積を計算しているのでしょうか。
2次元であれば,断面画像を数値積分して面積,重心,断面1次/2次
モーメント等を計算していると思われるソフトを見かけたことがありますが,
3次元 (体積積分) となると,高精度で計算しようとすると
普通は計算量が膨大になるので数値積分は使っていないと思います.
3D CAD には門外漢ですが,たぶん次のように計算しているのではないかと思います.
・多面体
四面体に分割して計算しているのではないかと思います.
四面体 (三角錐) の体積は (底面積) * (高さ) / 3 ですが,
頂点座標から求めるのはちょっと面倒ですね.
四面体の頂点座標を P1=(x1, y1, z1) ~ P4=(x4, y4, z4) とすると,
底面 △P1P2P3 の面積は外積を使って,
△P1P2P3 = (1/2) |(P2 - P1) × (P3 - P1)|
あとは,底面から P4 までの距離が高さになります.
(ちょっと面倒なので今回は略.)
・回転体
パップス=ギュルダンの定理を使えば,回転軸を通る断面の片側の
面積Sと,重心 (断面の重心であって回転体の重心ではない) の
回転軸からの距離 Rg から,V=2π Rg S で求められます.
http://homepage3.nifty.com/sugaku/pappusu.htm
No.3
- 回答日時:
四面体の体積を求めるもっと簡単な方法がありました.
行列式を使って,
V = (1/6) |det(P2 - P1, P3 - P1, P4 - P1)|
です.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 中学校 中1数学 比例のグラフの座標の読み取り 4 2023/03/28 12:26
- 物理学 量子力学 生成消滅演算子 2 2022/08/04 23:17
- 数学 数学1の問題がわかりません。 次の関数において、頂点の座標と、[]内のxの値に対するyの値を求めよ。 3 2023/02/13 00:36
- 数学 数学B 正四面体の第4の頂点 3 2022/06/06 08:40
- 物理学 ひも理論についての質問です。 ひも理論を調べてみると、元々素粒子を座標として表していた(便宜上)が、 5 2022/04/17 19:21
- 物理学 ビオサバールの法則で円弧部分から座標(x,0,0)に対する磁束密度を計算したいのですがここで詰まって 1 2023/04/30 13:09
- 数学 放物線y=a(x-a)(x-b)について、頂点の座標を求めなさい。ただし、a≠0とし、a,bは実数の 6 2023/03/21 00:26
- 化学 温度変化に伴う圧力と体積の変化について 2 2022/07/25 17:21
- 生物学 脳の記録部位の集計方法について 1 2022/06/11 21:26
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲面√x+√y+√z=1と3つの座標平面x=0,y=0,z=0で囲まれ 1 2022/07/05 13:49
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ガウスの発散定理について
-
オイラーの多面体公式
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
X2乗+Xの解き方について
-
(x+1)3乗と (x2乗+1)(x+1)(...
-
因数分解
-
sech関数のフーリエ変換
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
m2の出し方を教えてください
-
この問題を教えてください。な...
-
エクセルで同じ文字が3連続して...
-
a ² -b ² +2b-1因数分解のやり...
-
因数分解のマイナスのくくり方...
-
逆三角関数 方程式
-
1kgの10%は?
-
解き方を教えてください。 x^2+...
-
f(x)=x^2の3乗根(x^2/3)の最大...
-
緊急!中2数学!
-
区分的に連続な関数について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
3次元座標から体積を求める参考書
-
円と球
-
Illustratorで多面体を作成する...
-
多面体の組み合わせで出来る多...
-
凸多面体の展開図は必ず書けるか
-
1m^3はℓに直せるか?
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
X2乗+Xの解き方について
-
(x+1)3乗と (x2乗+1)(x+1)(...
-
因数分解
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
単連結なn次元閉多様体の連続変...
-
電検王さんの理論の問題について
-
1kgの10%は?
-
因数分解のマイナスのくくり方...
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
この問題を教えてください。な...
-
m2の出し方を教えてください
-
エクセルで同じ文字が3連続して...
-
a ² -b ² +2b-1因数分解のやり...
おすすめ情報