ガウスの発散定理について

「点（0,0,1)を中心とする半径3の半球部分（ｚ≧1）を囲む閉曲面Sについて　∬(2x,2y,z)・ｄＳを求めよ」という問題について質問です。
ガウスの発散定理を利用し、div(2x,2y,z)を求めるまでは判りましたが、その後の体積分の求め方が判りません。単純に上記の半球部分の体積（18π）を求めるのではありませんよね？？

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/18 02:57

　まず、確認ですが、

＞∬(2x,2y,z)・ｄＳを求めよ
は∬(2x,2y,z)・n ｄＳ　を求めよ（ただし、nは曲面Ｓにおける単位法線ベクトル）　ということでよろしいですよね。

　だとしますと、
　　div(2x,2y,z)＝５
と求められますので、求める積分の値は、「単純に上記の半球部分の体積（18π）」の５倍（＝90π)ということが分かります。

　検算として、ガウスの発散定理を使わずに求めてみますと、次のようになります。

　　　ｚ＝１における円板面での積分値＝－９π
　＋）半球面上における積分値＝９９π
　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　閉曲面Ｓにおける積分値＝９０π