こんにちは。高校数学Aの公式集中の公式とその解説です。
「確率がnの式としてPnで与えられているとき、Pnの最大値を求めるには、(Pn+1)/Pn と1との大小を比べる。」
上記の解答公式に対する説明として
--------------------------------------------------------------
f(x)の最大値を調べるには微分法も考えられるが、nは自然数だから、隣りの項どうし、Pn+1とPnの大小を調べればよい。Pnは積や商の形が多いので、差よりも比をとって調べればよい。
n<n0で、(Pn+1)/Pn>1、n≧n0で、(Pn+1)/Pn<1ならば
P1<P2<・・・<P(n0-1)<Pn0>P(n0+1)>・・・
となり、Pn0が最大である。
---------------------------------------------------------------
↑この解説が理解できません。
わかる方がいらしゃれば、説明していただけないでしょうか?お願いします。
[補足:この解答公式は、「サイコロを15回振ると、1の目が□回出る確率が最大である。」という問題に適用できるようです。ー答:2]
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> n<n0で、(Pn+1)/Pn>1、n≧n0で、(Pn+1)/Pn<1ならば
> P1<P2<・・・<P(n0-1)<Pn0>P(n0+1)>・・・
> となり、Pn0が最大である。
については、#1さんが丁寧に解説されていますのでそちらを参照して頂くとして、具体的に、「サイコロを15回振ると、1の目が□回出る確率が最大である。」という問題を解いてみれば理解しやすいかも。
サイコロを15回振って、1の目がn回でる確率をPn とすると、
Pn = 15Cn (5^(15-n))/(6^15)
で、Pnが最大となるnを求めたい。
そのために、Pnの増減をしらべたいのだけど、Pn+1 - Pn の符号を調べても良いし、Pn+1/Pn が1より大きいか小さいかを調べても良い。
で、まあ、物は試しで、Pn+1/Pn が1より大きいか小さいかを調べてみる。Pn+1/Pnを計算してみると、
Pn+1/Pn = (15-n)/(5(n+1))
となるから
Pn+1/Pn >1 → (15-n)/(5(n+1))>1
を解くとn<10/6
ということで、
n=1のときはPn+1/Pn >1 ⇔ Pn < Pn+1 ・・・(1)
n≧2のときはPn+1/Pn <1 ⇔ Pn > Pn+1 ・・・(2)
(Pn+1/Pn =1となる整数nは存在しない)
(1)から、P1<P2
(2)から、P2>P3、P3>P4、・・・、P14>P15(要は単調減少)
これらをつなげてP1<P2,P2>P3>P4>・・・>P15
ってことで、最大となるのはP2で、1の目は2回出る確率が最大。
少しは具体的に理解できますか?
でも、このサイコロの問題の場合は、Pn+1-Pnもさほど複雑な式にはならないし、Pn+1/Pn、Pn+1-Pnのどちらでなきゃいけないという話でもないので、気が向いたほう(楽そうな方)で増減は調べればよいのでは。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
>で、まあ、物は試しで、Pn+1/Pn が1より大きいか小さいかを調>べてみる。Pn+1/Pnを計算してみると、
>Pn+1/Pn = (15-n)/(5(n+1))
↑このPn+1/Pn = (15-n)/(5(n+1))がどうして成立するのかわかりません。
再度説明をお願いできるとありがたいです。
No.3
- 回答日時:
> Pn+1/Pn = (15-n)/(5(n+1))がどうして成立するのか
Pn+1 = 15C(n+1) × (5^(15-n-1))/(6^15)
Pn = 15Cn × (5^(15-n))/(6^15)
より、Pn+1/Pnを普通に計算してみてください。
ちなみに
nCm = n! /((n-m)! m!)
ですが、これぐらいは分かってるよね。
ありがとうございます。
Pn = 15Cn × (5^(15-n))/(6^15) についてはANo.2中に表示していただいていましたね。
丁寧な解説をありがとうございます。
No.1
- 回答日時:
>n<n0で
>(Pn+1)/Pn>1
nがn0より小さいときに
P[n+1]/P[n]>1
が成り立つとすると、(※ここまでは仮定です)
両辺にP[n]を掛けて
P[n+1]>P[n]
nがn0より小さければいつでも成り立つので
P[2]>P[1]
P[3]>P[2]
…
P[n0]>P[n0-1]
全部まとめて書くと
P[1]<P[2]<P[3]<…<P[n0-1]<P[n0]
こういう理論展開になってます。
ここまでで、
n<n0で、(Pn+1)/Pn>1ならば、P[1]<P[2]<P[3]<…<P[n0-1]<P[n0]
というところです。
後半も同様にやります。
>n≧n0で、(Pn+1)/Pn<1ならば
nがn0より大きいときに、P[n+1]/P[n]<1
が成り立つとすると、(※またここまでは仮定です)
両辺にP[n]を掛けて
P[n+1]<P[n]
nがn0より大きければいつでも成り立つので
P[n0+1]<P[n0]
P[n0+2]<P[n0+1]
…
まとめて書くと
P[n0]>P[n0+1]>P[n0+2]>…
前半と後半をさらに合わせて書くと公式の解説になります。
ここで言ってるのは
「n<n0より小さいときにP[n+1]/P[n]>1、n≧n0のときP[n+1]/P[n]<1」
という長い長い仮定が成り立つときの話です。
仮定の式をちょいといじくればn0のときP[n0]が最大であることがわかるよ。っていうお話しです。
回答ありがとうございます。
>「n<n0より小さいときにP[n+1]/P[n]>1、n≧n0のときP[n+1]/P[n] <1」
>という長い長い仮定が成り立つときの話です。
>仮定の式をちょいといじくればn0のときP[n0]が最大であることがわかるよ。
そうすると、「条件を数式で表示するとこういうことになる」 ということなのですね。
なんとなくわかったような気がします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 確率の最大値を求める方法について 確率 Pn<P(n+1)⇄Pn/P(n+1)<1のときと Pn>P 2 2022/07/29 20:15
- 数学 A君とB君はコインを1枚ずつ投げ、2枚とも表、あるいは2枚とも裏が出れば、投げた2枚をA君がもらい、 3 2023/02/05 12:19
- 数学 高一数学 確率 画像あり 〔 チャート 302ページ 問題練習57番 〕 n=12のときにPn=Pn 2 2023/08/15 13:54
- 数学 写真の数学の問題です。 ①(1)の場合分けの方法はどうやったら思いつけますか?(その考えにたどり着く 1 2023/04/22 16:26
- 数学 数学A 確率 白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある。 この袋の中から、2個の玉をとりだすとき、白玉 4 2023/04/22 15:18
- 数学 環論の素元について 6 2022/05/09 04:04
- 数学 x軸上にN+1個の点P0, P1, … , PNがある。 P0は0から1の間、PiはP(i-1)と1 2 2023/04/07 16:23
- 数学 白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある。この袋の中から2個の玉を同時に取り出す時、白玉1個、赤玉1個 3 2022/05/22 23:19
- 数学 写真の問題の(2)についてですが、 (p[n+1]/pn)-1すなわち、(4-n)/n(n+6)と0 2 2023/04/17 20:23
- 物理学 太陽光発電の仕組みについて 4 2022/09/12 12:08
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
4つのサイコロを同時に振って...
-
2つのサイコロを投げた時、目...
-
2つのサイコロの目の合計が偶数...
-
4つのサイコロを同時に振る時の...
-
サイコロ3個を振った時の確立...
-
サイコロ5個を同時に投げて任意...
-
サイコロを3回振って、123や345...
-
確率で「試行の独立」「事象の...
-
数学1の確率の質問です! 1個の...
-
3つのサイコロを振って出た目の...
-
異なる4つのサイコロを同時に投...
-
サイコロを三つ同時に振るとき ...
-
数学Aの確率の問題です(´;ω;...
-
サイコロを4回投げる時、1の目...
-
数学の確率に関する質問です。
-
さいころを2個同時に振ったとき...
-
サイコロ 確率
-
確率
-
1個のさいころをn回投げるとき...
-
確率について。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
4つのサイコロを同時に振って...
-
サイコロ5個を同時に投げて任意...
-
2つのサイコロの目の合計が偶数...
-
3つのサイコロを振って出た目の...
-
2つのサイコロを投げた時、目...
-
サイコロを投げて6が連続して10...
-
大中小3個のサイコロを同時に投...
-
1つのサイコロを3回ふり、出た...
-
サイコロを三つ同時に振るとき ...
-
サイコロを4回振ったらすべて6...
-
1個のサイコロを3回続けて投げ...
-
異なる4つのサイコロを同時に投...
-
サイコロ3個を振った時の確立...
-
サイコロを4回投げる時、1の目...
-
数学の確率の超有名問題で、サ...
-
3個のサイコロを同時に1回振る...
-
n 個のサイコロを同時に振る。 ...
-
数学の質問です。 サイコロ2つ...
-
数Aの大中小の3個のサイコロを...
-
数学の問題です 大中小3個のサ...
おすすめ情報