「BをK/2^n(n=0,1,2,・・・;k=0,1,2,・・、2^n)という形の数全体とする。Bは[0,1]のなかで、稠密であることを示せ。ただし、B⊆[0,1]のとき、Bは[0,1]のなかで稠密⇔[0,1]∩(a,b)≠φならばB∩(a,b)≠φは用いてよい。」
この問題なのですが、自分は、背理法で、[0,1]∩(a,b)≠φであってかつB∩(a,b)=φとして矛盾を導き出そうとしたのですが、(a,b)⊆[0,1]のときには、(0.5,1)は、[0,1]とは共通部分をもつが、Bとはもたないのですが。自分のやり方がいけないのでしょうか?誰か教えてください、お願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
正直「明らか」で終わってしまってもいいくらいなので,かえって説明は面倒なのですが,さすがにそれではよくないので,「私ならこう書く」というのを載せます.
(a,b)∋0 or 1ならばn=0, k=0, 1とおけばk/2^n はB∩(a,b)の元である.
そうでなければ(a,b)⊂[0,1],つまり 0<a<b<1 である.
この時 0 < b-a < 1 より 1/2^m < b-a ≦ 1/2^(m-1) なる自然数mが存在する.
n=mと置けば, k-1/2^n < a < k/2^n なる自然数k (0≦k≦2^n)が存在する.
この時,k/2^n - a < k/2^n - (k-1)/2^n = 1/2^n < b-a より k/2^n < b.
以上より k/2^n ∈ (a,b)である.k/2^n∈Bだから題意は示された.
#εとかを持ち出す必要は無いように思います
No.2
- 回答日時:
すいません,#1の「お礼」に対しての文です.
その方向で正しいと思いますよ.
では、[0,1]∩(a,b)≠φより、∃x∈[0,1]∩(a,b)となるxがとれる。よって、∃ε>0存在して(x-ε,x+ε)∩(a,b)≠φ、このとき、∃n∈N;k/2^n∈(x-ε,x+ε)∩(a,b)となるものがとれる。よって矛盾。というのは駄目ですかね?添削もお願いしたいです。よろしくお願いします。
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