横に4マス、縦に4マスの道路があります。
一番左下を地点A、一番右上を地点Bとして、地点Aから縦に2マス行ってから横に3マスいき、縦に2マスいき最後に横に1マス行くと地点Bに到着するとき。
(1)地点Aから地点Bへの長さの最短の道は何通りありますか?
(2)地点Aから地点Bへの長さの最短の道で、左折の回数と右折の回数の和が多くとも3回であるものは何通りありますか?
(注 左折、右折は進行方向に向かって考える。例えば、地点Aから縦に2マス行ってから横に3マスいき、縦に2マスいき最後に横に1マス行くと地点Bの道路は左折、右折の数はそれぞれい1、2回でその和は3となる。) という問題の答えが
(1)8C4(縦に4回横に4回なので縦縦縦縦横横横横を並び替える)=8・7・6・5/4・3・2=70通り
(2)1回→2通り
2回→3C1+3=6通り
3回→5C2×2+5C2=30通り
横 横 横 横
の隙間(場合によっては端にも)に縦を入れる感じのやり方
で38通りになったんですけどあっていますか?
もしも、間違っていたり、もっといい考えなどがありましたら教えてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
(1)は同じように考えました。縦4マス、横4マスの合計8マス進んでAからBへ行くのが最短。8マス進むうちの4マス分が縦(または横)なので、計8マスから縦4マスを選ぶ選び方を考えればよく、8C4 = 70 通り
または、「縦」4つ、「横」4つの順列を考えて、8! / (4!×4!) = 70 通り
(2)
1回のとき)
縦4マス→横4マス、または、横4マス→縦4マスの2通り
2回のとき)
縦nマス→横4マス→縦 (4 - n) マス ・・・ 1≦n≦3 の3通り
さらに、縦、横の順を逆にして横→縦→横で考えても同様に3通り。
ゆえに2回曲がる行き方は6通り
3回のとき)
縦 n マス→横 m マス→縦 (4 - n) マス→横 (4 - m) マス で、1≦n≦3, 1≦m≦3 なので、3×3=9通り。
縦の横の順を逆にして横→縦→横→縦も同様に9通り。
ゆえに3回曲がる行き方は18通り
以上より、たかだか3回曲がってAからBへ行く道順は合計26通り。
2回のときは、縦→横→縦ならば、縦○縦○縦○縦の3箇所の○のうち1箇所に横5個を入れる入れ方で 3C1 = 3通り、横→縦→横も同様に3通りで、計6通りと考えても同じ。
3回のときは、縦を2つにわけ、横も2つにわけ、それらを縦横縦横または横縦横縦に並べれば良い、と考えても良いでしょう。縦4マスを2つに分けるわけ方は縦○縦○縦○縦の3箇所の○のうち1箇所に衝立を立てると考えて 3C2 = 3通り。横を2つにわけるのも同様に3通り。故に、3C2×3C2×2=18通り。
教えていただきありがとうございます。
他にもわからない問題があるので教えてもらえませんか?
放物線y=x(二乗)+4x+5・・・(1)、y=-x(二乗)+bx+c・・・(2)(b>0)について、(1)の頂点をV,(1)の軸とx軸の交点をH、 (1)とy軸の交点をCとする。また、(2)の頂点をW(2)の軸とx軸の交点をKとする。
(1)頂点Vの座標を求めよ。
(2)直線VCの方程式を求めよ。
(3)(2)の頂点が直線VC上にあり、四角形VHKWの面積が12であるとき、b、cの値を求めよ。
8個の異なる品物をA、B、Cの3人に分ける方法について
(1)Aに3個、Bに2個、Cに3個分ける方法は何通りあるか?
(2)品物を一個ももらえない人がいてもよいとすれば、分け方は何通りあるか
?
(3)A、B、Cがいずれも、少なくとも1個の品物をもらう分け方は何通りあるか?と言う問題の途中式と答えが
(1)V(-2,1)
(2)y=2x+5
(3)kのx座標をaとすると,四角形(台形)VHKWの面積=(1+2a+5)(a+2)/2
よりa^2+5a+6=12
これを解いて,(a+6)(a-1)=0ここでa>0より
a=1
よって,Wの座標は(1,7)
一方,(2)はy=-(x-b/2)^2+c+b^2/4と表せるから
b=2,c=6
(1)8C3×5C2(Aが3個選んで,Bが残りから2個選ぶから)
(2)3^8(それぞれの品物に対して,A,B,Cの3通りだから)
(3)品物が1人に集中するのは,8^1×3
品物が2人に集中するのは,8^2×3だから
求める答えは3^8-3-8^2×3になったんですけどあっていますか?
もしも、間違った答えややり方ならもっといいのを教えてもらえませんか?
ダイレクト本当にすみません
No.2
- 回答日時:
向きを変える回数をnとして、場合の数をF(n)とします。
n=1,2,3,4,5,6,7
F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(6)+F(7)=8!/(4!4!)=70
F(1)= 2,,F(2)= 6,,F(3)=18,,F(4)=18,,F(5)=18,,F(6)= 6,,F(7)= 2
となるようです。
センタのような問題で、PやCは使わずに、巧みにcountするように思われます。
かといって、規則性もあるらしく、
2+6+18+18+18+6+2=70 と対称性もあります。
4×4 だから、count できますが、それ以上になると予測もできません。
以下の図は、図ごとにcountの仕方が異なっています。70通り全て書いた方が速そうです。
説明を書く/読むのは隔靴掻痒で、F(3)は数え上げた方がよさそうです。むしろ、F(4)以降の方が判り良いかもしれません。
F(1)の図
●●●●○○○○ ・・・・・1*2=2
F(2)の図
●○○○○●●●・・・・・3*2=6
F(3)の図
●○(●●●○○)○ ( )内のずらしが3通り。
●●○(●●○○)○ ( )内のずらしが3通り。
●●●○(●○○)○ ( )内のずらしが3通り。・・・・・3*3*2=18
F(4)の図
●○○●○○●●
●○○●●○○●
●●○○●○○●
●○○○●○●●
●○○○●●○●
●●○○○●○●・・・・・(3+6)*2=18
F(5)の図
●○●○●●○○
●○●○○●●○
●○○●○●●○・・・・・3*3*2=18
F(6)の図
●○●○●○○●・・・・・3*2=6
F(7)の図
●○●○●○●○・・・・・1*2=2
計 2+6+18+18+18+6+2=70通り。
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