ヒントを見つけるヒントになるヒント

問題の解説とにらみっこしていると、「なんで○○が問題を解くヒントになるんだろう？何をヒントに、それがヒントだと気付けばいいんだろう？」と悩むことが圧倒的に多いです。

人に「この問題はこう解く」と言われると、「あー、そっか！」と納得できるのですが、そのヒントを自力で見つけ出すことができずに困っています。

＊問
ａ、ｂはそれぞれ１以上９以下の自然数で、かつ、ａはｂよりも小さいものとする。例えばａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表すものとする。このとき、ａｂａとｂａｂの和が１２２１になるａとｂの組合せは何通りあるか。

＊初めてこの問題をみたときの僕の頭の中
「ａ、ｂは１～８である…ってところまではわかる。ａが８ではないこと、ｂが１ではないというだ。…あれ？でもそれ以外は可能性がありすぎて一つ一つ確かめることもできないぞ…」

＊この問題が解けた人の主張（うろ覚え）
ａ、ｂは１～９だから、１０進法の問題である。

＊それをヒントに改めて自分で解いたやり方
100ａ＋10ｂ＋ａ＋100ｂ＋10ａ＋ｂ＝１２２１
111ａ＋111ｂ＝１２２１
ａ＋ｂ＝１１　
ａの可能性は２～５、ｂの可能性は９～６となり、回答は４通り。

…で、ここで最大の疑問です。この問題が解けた人は問題文の「１以上９以下の自然数」というのをヒントに○進法の問題だと見抜いたようですが、ａ・ｂが１以上９以下の自然数というのは、むしろ当たり前のことでヒントとして着目するようなことではないと思うんです。
なのに、なぜこれをいまさら「10進法だ！」ととらえ＆ａｂａなどを10進法の式に変えて計算すれば答えがだせるというところまで話が飛ぶのですか。

この問題に限らず、問題を解くヒントは、何をヒントに見つければよいのですか。問題文を読んだだけで、判断できないと困惑してしまうことが多く、越えられない壁の一つです…。よろしくお願いします。

No.7 回答者： sugakusya 回答日時： 2008/10/22 18:05

　私の場合、ぱっとわからない問題はなぜわからないのか、なぜ難しいのかを考え出します。

こうすることで問題の本質をあぶりだすことができるからです。今までこうやって数学なんかを勉強してきましたが、この方法でだいたいいけます。
　例題でいうと、貴方も気づいているとおり、「aとbのとりえる値」の数が多すぎるから難しい。逆に言えばこれさえどうにかできれば超簡単なわけで、この問題の本質といえるでしょう。
　こう考えると次に思考は「組み合わせ数が多い問題はどうやって解決したらいいのか」という流れになります。
　ここから先は二通り。
１）過去にその問題の本質に通ずる問題を解いたときを思い出し、同様の方法を用いて解く。
２）アドリブでなんとかする。

２）は難しいから１）から考えるのがセオリーです。
例えば１次方程式 5x+1=0 を満たすxを解くなんて問題は、無限にある数字から特定の数を探すのだから、例題と同じ本質を持つ問題です。あなたはこれをやすやすと解けると思います。
　そこで考えます。なぜ解けるのか？「この式の解き方を知っているから」や、「ｘの予測がつきやすいから」、「先生に教えてもらったから」などなど。ここから適切なものを選び、「式にあらわせたなら例題も解けるかも知れない」と気づけば問題を式にあらわす方法を考えるでしょう。そうすれば式に表す事を意識しながらもう一度問題文をよみ、abaなる数は100a+10b+aで式にあらわせると気づき、この問題は解けます。
　この方法はチンタラしているように思いますが、慣れてくると、「式に表せる問題はその式さえ解ければ解ける」という事を脳が覚え、こんなに意識的思考をしなくともいきなり式にあらわそうとします。
　そうなっている人が始めてこの問題に出会ったとき、その人の頭の中は、「この問題を式に表せば解ける」→「abaなる数は100a+10b+a」だとピンときて「十進法だ！」となるのです。おそらく「なぜわかった？」ときけば「abaは100a+10b+aの形であらわせる事に気づいたから」とその人は答えるでしょう。だが実際はそうでなく、「問題を式に表せれば代数的に解ける事を知っているから」なのです。参考になればいいですが・・・。

　これは余談ですが、１）が無理で２）に移行したとき、「何じゃこりゃー」とならずに、問題が解決できるのが本当に頭のいい人といえると思います。今までに出会った事のない問題なのに解けるからです。数学的に解ける問題を数学で解くというのはある意味個性が無いですよね？コンピュータが無い時代に、今回の例題に出会い、１）がだめだから、コンピュータや、プログラムという概念を生み出し、実際に作って問題を解いたとなればその人は天才ですね。（数学が無理な人はそんな事できないだろうからあまりいい例ではないですが。）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞「aとbのとりえる値」の数が多すぎるから難しい
そうなんです!!確かめようがないんです。

＞これさえどうにかできれば超簡単
しかし、その方法が思いつくことができないため、↑のあたりでとまってしまいました。

（２）の方法は、僕にはできません。いくら考えたって、やったこともないパターンの解き方を発明家のように思いつくなんて僕には不可能です…。

（１）のおかげで、初めてみる問題でも、解ける問題は確かにあります。しかし、問題の種類は数限りなく、やったことのないパターンの問題のほうが圧倒的に多く、以前の経験が活かせないことのほうが多いのです。例えば、

ある数を５で割ると２余り、１０の位と１の位を入れ替えた数字はもとの数の３倍よりも３８少ない数字になる。この１０の位の数字と１の位の数字を足すといくらになるか。

100a＋10b＋ａと同じ考え方が必要とされる問題です。しかし、この問題の解き方を知っていても、今回質問した問題解答には、活かせませんでした。なぜなら、設問の仕方が全く違うため、同じだということに気付かなかったのです。

お礼日時：2008/10/25 21:42

No.6 回答者： banakona 回答日時： 2008/10/22 11:58

＞ａ・ｂが１以上９以下の自然数というのは、むしろ当たり前のことでヒントとして着目するようなことではないと思うんです。

あれ？　知りませんでした？　数学って「当たり前のこと」の積み重ねですよ。一見、当たり前に見えないことでも、それよりも基礎的なこと（つまり当たり前のこと）を元に築きあげているのです。

私は、当サイトで回答はしないまでも、設問をときどき解いています。
解けない問題にぶつかることもありますが、そんなときは、「とりあえず、できること・思いついたことをやってみる」と突破口が開かれることが多いです。「こうすれば解ける」と思って解いているのではなく「解けるかもしれない」「解けるといいな」という程度で計算や変形をしています。これで解けなかったら別の手法を試すだけです。

私が「方針を決めてから解く」のは、ルーチンワーク的に解けるもの（２次関数のグラフの形に関する問題、微分で最大・最小を求める問題、積分で面積や体積を求める問題、空間図形の問題、ｅｔｃ）くらいで、その他の問題は「とりあえずできること」をして解いていることが多いです。具体的には、式を整理する、式を２乗してみる、表現を変えてみる等します。本問の場合は「表現を変えてみる」です。

「ａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表す」という表記自体がケッタイなので、これを本来の表記である、ａ×１００＋ｂ×１０＋ｃにすれば光明が見えてきます。これはヒラメキというレベルのものではなく、常套手段です。

本問に限らず、問題中の条件・情報を全て使ったかを確かめるのもコツです。出題者は、全員が０点になるのを望んでいません。各生徒の理解度を知りたいのですから、必ず解けるように問題はできています。条件を全て使ってもできそうになければ、定期試験なら試験範囲中に習った事項を使えないか、範囲外でも以前に習ったことは使えないかなどを考えてみてください。

あと、これは常識かもしれませんが、大設問が（１）（２）（３）に分かれている場合は、（１）が（２）のヒント、（２）が（３）のヒントになっていることが多いです。

最後に、「最低限のやる気（解く気）」を持ってください。何をすればいいかわかんない、さっぱり見当がつかない、では解ける問題も解けません。「何とかして解いてやろう」とか、「アイツに解けるんだから俺にも解けるハズ」といった気の持ちようは重要です。ここから「とりあえず思いついたことをやってみよう」という気持ちも出てきます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「こうすれば解ける」と思って解いているのではなく「解けるかもしれない」「解けるといいな」という程度で計算

とありますが、これでは「適当にやってみた→まぐれで当たった」だけで、時間制限のある試験で合格点をとるための方法として適切かどうかという点では疑問です…。

＞以前に習ったことは使えないかなどを
そうですね、これはいつもやっています。でも、問題は数限りなくあり、以前に習ったときとは全く違うパターンの問題ばかりで、習ったことは何一つとして活かせないのです。

お礼日時：2008/10/25 21:32

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2008/10/22 10:58

＞ａ、ｂはそれぞれ１以上９以下の自然数で、かつ、ａはｂよりも小さいものとする。

＞例えばａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表すものとする

この文章が全てです。
自然数ａ，ｂの作るａｂａという表現の意味を定義しています。これ以外にヒントはありません。

１０進法であるというのは「ａｂａが３桁の『自然数』である１２１を表す」というところから決まるのだと思います。「５進法で１２１と表された数字を自然数とは呼ばない」と思うからです。
だから「ａ，ｂが１以上、７以下の整数」と書いてあっても１０進法としていいのです。８進法であると考える必要はありません。
解答は　ａ＝４，５、　ｂ＝７，６　の２通りになります。

ａ，ｂが１以上、９以下の整数（ａ＜ｂ）であって１２進法だとします。（１２１は自然数ではありません。１２進法での１２１です。）
ａ＋ｂ＝１１となります。
１０進法の表記に直すと
ａ＋ｂ＝１３です。
ａ＝４，５，６、　　ｂ＝９，８，７
の３通りになります。

１２進数で全ての数字を表すためには１０進法での１０，１１，１２にあたる記号を導入しなければいけないことになります。
０，１，２、・・・、Ａ，Ｂ，Ｃ　のような表記です。
１以上、９以下の整数としておけばこういう手間を省くことが出来ます。

１０進法以外であれば
「～進法である」と明示されるか
繰り上がりと表現の規則が書かれているか
のはずだと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

つまり、僕が参考にした人の意見はあまり的確ではなかったわけですね（^^;。あのアドバイスを気にするのはもうやめます。

＞自然数ａ，ｂの作るａｂａという表現の意味を定義しています
しかし、ここから100a＋10b＋ａと解けばいい、と、どうやったら思いつけるのかがわかりません。

お礼日時：2008/10/25 21:29

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2008/10/22 04:58

> 問題を解くヒントは、何をヒントに見つければよいのですか。

>
確実なアルゴリズムは存在しないと思います。

例えば、私がその問題を解くときには、次のように考えます：
「全組み合わせを計算して数え上げれば解けるんだし、とりあえず、いくつかの組み合わせを計算してみよう。」
「１２１＋２１２＝…、１３１＋３１３＝…、…」
「全部計算するのは…、面倒かな。ａ、ｂの組み合わせはいくつだろう。３６か？」
「３５３＋５３５＝…、３６３＋６３６＝…、…」
「３６だとすると、１組計算するごとに何％ずつ解けてることになるのかな？」
「４８４＋８４８＝…、４９４＋９４９＝…、…」
「あぅ。筆算してて気づいた。ａｂ_ａ_とｂａ_ｂ_の和が１２２１ってことは、ａ＋ｂの１の位は１でなくちゃ。」
（以下略）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞ａｂ_ａ_とｂａ_ｂ_の和が１２２１ってことは、ａ＋ｂの１の位は１でなくちゃ

おぉ！！本当ですね（@_@;）
人に言われると納得できるのですが、それを自力で気付くことができません…。どうすれば、気付くことができるのですか？

お礼日時：2008/10/25 21:27

No.3 回答者： fef 回答日時： 2008/10/22 02:33

例えば，私がその問題を解くときには，次のように考えます．

------
与えられている条件は，a, b がそれぞれ 1 以上 9 以下の自然数であることと，
a < bが成り立つこと，それに aba と bab の和が 1221 になることかあ．
求めるものは・・・ a, b の組み合わせか．

ということは，a, b の組を制限するような，なるべく厳しい条件が欲しいところだな．
そのような条件が出てくる可能性があるとしたら，最後の条件「aba と bab の和が 1221」かな．

この条件をどう使おう．
とりあえず式になおさないと使いにくいな．
それじゃあ，まず，aba と bab の和を計算しよう．

このような和の計算の仕方は・・・，とりあえず定石どおりいってみるか．
（以下，略）
------


問題を解く際の思考プロセスについて説明した本は何冊か出版されています．
探してみてはいかがでしょう．

ちなみに，私の一番のお気に入りはPolyaですが，おそらく現時点で読む本ではないでしょうね．
hypnosisさんの現状を詳しく知っているわけでもないので，ここでは特に書名をあげることはしません．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞aba と bab の和を計算しよう．

そう、ここで100a＋10b＋aとすればいい、という算数的なやり方を、思いつくことができないんです…。

お礼日時：2008/10/25 21:25

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/10/22 00:07

とりあえず、問題は読んでません。

「ヒントを見付けよう」という態度が間違っています。そこからは何も得られません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

いいえ、そんなことはありません。手探りの状態で解こうとしても解けないというのが現実です。あてずっぽうなやり方では、まぐれで正解はできても、解くということにはなりません。

お礼日時：2008/10/25 21:23

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/22 00:01

「ａｂａとｂａｂの和が１２２１」が「100ａ＋10ｂ＋ａ＋100ｂ＋10ａ＋ｂ＝１２２１」と表せる

ことに気づくためには、「ａｂａ」が表す数が「100ａ＋10ｂ＋ａ」、「ｂａｂ」が表す数が
「100ｂ＋10ａ＋ｂ」であることを理解すれば十分。つまり、
「例えばａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表すものとする。」
という文の意味が掴めれば十分です。
「ａ、ｂは１～９だから、１０進法の問題である。」という、分かったような分かっていないような
奇妙な着想は、およそ不要です。

数学以前に、日本語の文章がまともに読めることを目指しましょう。貴方に必要なのは、ソレです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「ａｂａ」が表す数が「100ａ＋10ｂ＋ａ」、であるということを発想するためにはどうしたらよいのですか？言われればそうだとわかりましたが、「どうしたらそう発想できるのか？」がわからずに困っているのです。

問題なのは日本語ではなく数字的発想力です。算数はちっとも解けないのに、現代文・英文読解は常に高得点なのがその証拠です。

お礼日時：2008/10/25 21:22