自然対数の底って・・・

自然対数の底e=2.718...は、
e=(1+x)^(1/x)
でx->0の極限で定義されますよね。
何故このような式で定義するのでしょうか？
どなたかご存知の方、ご教授下さい。

No.4 回答者： nori_189 回答日時： 2009/01/11 20:56

下記回答の続きです。

複利計算との関係で定義されたｅは、
ｅ＝（１＋１／ｎ）＾n
ｎ→∞　
ですが、ここで、
x＝１／ｎ
とおいて、
x->0の極限
としたのが、ご質問の式と思います。

No.3 回答者： nori_189 回答日時： 2009/01/10 00:53

１万円を年利１００％で預けると１年後には１＋１＊１＝２万円になります。

これを半年複利で計算した場合は
半年後には、
１万円＋１万円＊０．５＝１．５万円
になり、
さらにその半年後には、
１．５万円＋１．５万＊０．５＝２．２５万円となります。つまり、１年後には、２．２５万円になります。

数式で書くと、
はじめのＡ万円は、
Ａ＋Ａ＊０．５＝Ｂ

さらに、そのＢ万円は
Ｂ＋Ｂ＊０．５＝Ｃ

よって
Ｃ＝Ｂ（１＋０．５）＝Ａ（１＋０．５）＊（１＋０．５）＝Ａ（１＋１／２）＾2

Ａは、１万円なので、
Ｃ＝（１＋１／２）＾2
となります。

以上は、半年ごとの複利計算でしたが、

１月ごとの複利計算だと１年後（１２ヶ月後）には、次のＣ万円になります。

Ｃ＝（１＋１／１２）＾12

この複利計算を無限に短い期間でやると（上記の１２ヶ月を→無限大にすると）、ご質問の式になることは直感的にわかると思います。

なお、エクセルでやってみると、
１秒ごとの超短期間複利計算で、大体ｅ万円となります。

No.2 回答者： sugakusya 回答日時： 2009/01/09 17:21

　実際の歴史は知りませんが、logの微分を計算するときに出てきたのだと数学の教科書で読んだ覚えがあります。

y=log(a,x)をaを低、xを真数(？)とした対数関数とします。
dy/dx= h→0 { log(a,x+h)-log(a,x) }/h
= h→0 { log( a , (x+h)/x ) }/h
= h→0 { log( a , 1+h/x ) }/h
ここで　x/h = t とすると
= t→∞ { log( a , 1+1/t ) }t/x
= t→∞ { log( a , (1+1/t)^t) } /x

となるわけです。ここで
C(a) = t→∞ { log( a , (1+1/t)^t) }
とすると、
dy/dx = C(a)/x
となる事がわかります。ここで
C(a)=１となるようなaがeと特別視され、e=ｔ→∞ (1+1/t)^t
となった分けです。

おまけ？
　　　e = x→0 ( 1+x )^(1/x)　= z→∞ (1+1/z)^z
　　　z=1/x

No.1 回答者： DIooggooID 回答日時： 2009/01/09 11:53

ご参考

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/napier/na …