a^2の√=a が成り立たない場合

高校生です。

『a^2の√(要するに、ルートの中にaの二乗)=a』の式が成り立たないaの値って何ですか?

自分が考えたのはa=負の数 なのですが、
この考えは合っていますか?
また、他に成り立たない値はありますか?(一応理由付で)

是非力を貸してください!

No.8 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/19 15:55

√ も、| | も、よく知られた複素関数への拡張があるから、

a が実数でしか成り立たない √(a^2) = |a| は、やや不用意
な感じがする。
a ≧ 0 のとき √(a^2) = a
a ＜ 0 のとき √(a^2) = -a
と書けば、複素範囲でも嘘がない。

No.7 回答者： proto 回答日時： 2009/04/18 13:08

これは回答ではなくただの補足ですが、

√(-1)=iであると闇雲に信じてはいけませんよ。
何故なら
　　i = -√(-1)
　　-i = √(-1)
としてiを定義しても何も矛盾は起こらないのだから。

複素数の範囲では√zを多価関数で扱う方がどうしても便利なので、今回のように√zの値を暗黙のウチに一つの値に決めてしまうのには無理があるのですよ。
とはいえ実数の範囲で話をするなら
　　√(a^2) = |a|
とだけ理解しておけば必要十分だと思います。

No.6 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/04/18 08:37

質問の答えとしては

それが正解．
定義で
(√(a^2))=|a|
って習ってるはずだから，|a|の定義に従えばいいだけ．

おまけ：
＞大学で複素関数論を習うと√１＝±１としなければ
＞一貫性を欠きまずいんだよ。

そんなことはない．実数に根号をつけた場合は，
中学・高校と同様に処理する．
暗黙のうちに「主値をとる」のが仮定される．
正の実数aに対する(√a)は
あくまでも平方根のうち「正」のものをさす．

zを複素数として関数f(z)=(√z)などといった場合は，
確かに多価性を考慮することがあるが
具体的な値は，f(2)=±(√2)のように表記する．
決して，f(2)=(√2)で両方を表すようなことはない．
なぜなら「紛らわしい」から．
なお，このようにしておかないと
三乗根とかを考えたときにもっと混乱が起きる．

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/18 08:34

a = -i の場合が理解できたら、次に、

a = -1-i の場合はどうなるか？ を
考えれば、No.2 の内容が解ったり、
解らなかったり…

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2009/04/18 06:07

実は正の時にも成り立たないだよ。

高校生だと√１＝１とできるが
大学で複素関数論を習うと√１＝±１としなければ
一貫性を欠きまずいんだよ。

実数の中だけで閉じて入れば問題ないけどね。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/04/18 03:20

> a=負の数

合っているね。

> 他に成り立たない値
a=-i
√(a^2)=√(-1)=i≠a=-i

a=sin(-30°)
√(a^2)=1/2≠a=-1/2

a=log0.3 (常用対数)
√(a^2)=log(10/3)≠a=log0.3

No.2 回答者： 33550336 回答日時： 2009/04/18 03:07

質問者へ

負の数であってます。
高校のレベルならそれだけでいいと思います。

No.1様へ

√が関数として定義できるのは、実数の範囲で考えているときのみであり、しかもそのとき定義域は非負数に限られます。
複素数の範囲で考える場合、０以外の数に対し、平方根は２つ存在します。
実数の場合、正の方を対応させるわけですが、複素数にはそういう標準的な全順序が存在しないので、
一般に√は二価の関数になります。
なので、
（i^2の√）=（-1の√)
は両辺の値が一つに定まらないのでおかしな等式になります。
値を一つに決めるならば、定義域を０を含まない単連結領域に制限するなどの工夫が必要です。

No.1 回答者： silent_lot 回答日時： 2009/04/18 01:12

負の数でいいと思います。

あとは虚数があると思います。

i^2=-1になるので

（i^2の√）=（-1の√）になります。