無限積の極限

数列a(n)が 0<a(k)<1 (k=1,2,3,・・・n）を満たすとき、

lim【n→∞】Π[k=1～n]a(n)　

は０に収束するのか。

Πは総乗の記号です。感覚的には収束しないといと思うのですが、あっているでしょうか。
なにか上手い証明があれば教えてください。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/11 02:46

結局対数をとると

「b(n) が b(n) < 0 のとき級数 Σb(n) が -∞ に発散するか」
という問題と等価ですな.

No.3 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/05/11 00:22

>たとえばa(n)が全て0.99999・・・となる無限小数だったとすると

それ、 1 だから。。。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/05/11 00:07

反例は、a(n) = e^(-1/n^2) とか。

いくらでもある。

それ以前に、無限積が「０に収束する」って言わない。
部分積の極限が０なら、無限積は「０へ発散」。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/05/10 23:51

>感覚的には収束しないといと思うのですが

じゃあ、反例を考えましょう。はい補足にどうぞ。

この回答への補足

反例とはいえないんですが、
たとえばa(n)が全て0.99999・・・となる無限小数だったとすると、0.99999・・・
は限りなく1に近く、その積を無限にとっても0にはならないのではないか。
っていうのはダメでしょうか

補足日時：2009/05/11 00:15