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数列{an}がaに収束するとき、その部分数列{an(j)}がすべてaに収束することを示せ。
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様々な書籍を参考にしてみたのですが、
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任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε
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上を示そうにも手こずり困っています。
部分列 {n(j)}が、自然数の単調増加列であることは解るのですが…。
大まかな道筋をお願いします

A 回答 (2件)

今どこまでできていてどこで困っているのかを書いてくれればもうちょっと説明のしようもありますが, どこで詰まっているのかわからないので一般的に:


「数列 {an} が a に収束する」ということの定義をちゃんと書けますか?
定義が書けて {n(j)} が (j に関し) 単調増加であることが分かっているのなら,
「任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε」
は容易に示せるはずです.

この回答への補足

「数列 {an} が a に収束する」ということの定義は書けます。
しかし、
「任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε」
を示せません。

補足日時:2009/05/27 18:35
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{n(j)} は自然数の単調増加列なんだから


n(j) ≧ j
は自明でしょ? 分からんというなら帰納法で示してやってください.
つまり
j > n0 なら n(j) > n0 なので |anj - a| < ε
とできます.
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Q収束列の部分列について

はじめて質問させていただきます。

学校で位相幾何学を学んでいるのですが、なぜ収束列の部分列が同じ値に収束するのかがどうしても分かりません。
感覚的には分かるのですが、証明しろと言われると何をどうしていいのかさっぱり分からなくなってしまいます。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

数列が収束するという定義はよいとして、

部分列そのものの定義を見直してみましょう。
部分列 {anj} の nj には、狭義単調増加というような約束が入っていませんか?

> 部分列とは数列anに対して、p≦an≦q(nは任意の自然数)となるp、qが存在するならば、数列anの部分集合である数列anjは収束するという・・・
もう一度、教科書を見直してみてください。質問者さんが言われているのは、有界列の部分列は収束するということのようですが、それは間違いです。有界列から収束する部分列を取り出すことはできますが、an が有界だからといって、その任意の部分列が収束するわけではありません。また、本問では、このことは無関係です。

この問題で問われていることは、an が α に収束するとき、任意の部分列が(質問者さんが言われた収束の定義に基づいて)α に収束することを示せということ。話は簡単で、{an} において、ある n0 より大きな n では |an - α|<ε ですね。an は α に収束するので。
ですから、任意の部分列 {anj} でも、その n0 より大きな添え字の項以降(nk >n0 となる k が存在して、k<j)で |anj - α| < ε 。これをきちんと言うために、部分列の正確な定義が必要。
参考まで
http://www.ritsumei.ac.jp/~osaka/rejime/kougi04/kaikaiseki1.pdf

数列が収束するという定義はよいとして、

部分列そのものの定義を見直してみましょう。
部分列 {anj} の nj には、狭義単調増加というような約束が入っていませんか?

> 部分列とは数列anに対して、p≦an≦q(nは任意の自然数)となるp、qが存在するならば、数列anの部分集合である数列anjは収束するという・・・
もう一度、教科書を見直してみてください。質問者さんが言われているのは、有界列の部分列は収束するということのようですが、それは間違いです。有界列から収束する部分列を取り出すこと...続きを読む

Q部分列の収束性

こんばんは。「数列があって、それの収束する任意の部分列が同じ極限に収束するならば、その数列自身がその極限に収束する。ということを証明せよという問題です。

もしその数列がコーシー列であればその部分列がそのコーシー列と同じ値に収束するというのは証明したのですが、この問題では数列があってとだけ言ってます。コーシー列ならば、εーN法で行けるのですが、この場合どうやって証明すればいいのでしょうか?どなたか分かる方、証明宜しくお願いします。

Aベストアンサー

反例
an = n (nが偶数)
an = 1 (nが奇数)
つまり
1 2 1 4 1 6 1 8 ...
という数列.
収束する部分列は ...,1,1,1, .... のみでこれは1に収束.
けどもとの数列は収束しない.

問題が
「それの収束する任意の部分列が同じ極限に収束するならば」
ではなくて
「それの任意の部分列が同じ極限に収束するならば」かな

こうだと仮定すると「収束しない」の定義を利用して
「同じ極限に収束しない部分列」を構成できるので
証明できます.
#「収束しない」をεNで書けますか?

=========
コーシー列ならば収束する(実数の完備性)ので
コーシー列であると仮定した段階で,収束することを
仮定しているので,示すものが「逆」になっています.
収束する数列の部分列は収束するのです.


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