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数列{an}がaに収束するとき、その部分数列{an(j)}がすべてaに収束することを示せ。
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様々な書籍を参考にしてみたのですが、
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任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε
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上を示そうにも手こずり困っています。
部分列 {n(j)}が、自然数の単調増加列であることは解るのですが…。
大まかな道筋をお願いします

A 回答 (2件)

今どこまでできていてどこで困っているのかを書いてくれればもうちょっと説明のしようもありますが, どこで詰まっているのかわからないので一般的に:


「数列 {an} が a に収束する」ということの定義をちゃんと書けますか?
定義が書けて {n(j)} が (j に関し) 単調増加であることが分かっているのなら,
「任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε」
は容易に示せるはずです.

この回答への補足

「数列 {an} が a に収束する」ということの定義は書けます。
しかし、
「任意の部分列 {an(j)}が、その n0 より大きな添え字の項以降(nk>n0 となる k が存在して、k<j)で|anj-a|<ε」
を示せません。

補足日時:2009/05/27 18:35
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{n(j)} は自然数の単調増加列なんだから


n(j) ≧ j
は自明でしょ? 分からんというなら帰納法で示してやってください.
つまり
j > n0 なら n(j) > n0 なので |anj - a| < ε
とできます.
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Q群数列のアナロジーとして群関数を考えたい

数列と関数にはアナロジーがありますが、群数列に対応する関数があまりイメージできません。

あえて名前を群関数とでも名づけると、群関数とは例えば具体的にどのようなものが考えられるのでしょうか?

また、そもそも群数列自体が、高校ではよく見かけるものの、自然科学や大学での数学ではほぼみかけません。
群数列自体が役立っている分野とかはあるのでしょうか?

Aベストアンサー

 「群数列」なんて言葉、知りませんでした。ちょこっと検索してみると、群数列の要素は「第n群の第m項」などと指定されるとのことで、従って、
(1) 群数列とは数列(有限個の要素からなる数列)を要素とする列、というほどの意味でしょう。
 で、「数列と関数にはアナロジーがあ」ると仰るのは、こういうことでしょうか:

 数列の第n項の要素をf(n)と書くことができるから、数列ってのは自然数から実数(など)への関数である。ここでfの定義域を自然数から実数に拡張すれば、実数から実数(など)への関数になる。
 同様に、群数列の第n群の第m項の要素をf(n,m)と書くことができるから、群数列は自然数×自然数から実数(など)への関数である。だったら、fの定義域を実数×実数に拡張したらどうか。

 もしそうだとすれば、群数列fの定義域を実数×実数に拡張したものは普通の2変数関数
f : 実数×実数 → 実数(など)
に他なりません。
たとえば群数列
f(n,m) = n+m (nは自然数、mは0≦m<100の自然数)
の定義域を実数に変えて、
f(x,y) = x+y (xは実数、yは0≦y<100の実数)
でもいいですね。
の拡張になっている。x, yが自然数の時には両者は一致するのですから。

(2)  検索した結果、群数列について論じる際には、多くの場合、群数列f(n,m)に対して「群の分け目を外した数列」g(k)を考えるもののようです。
 ANo.1で「2次元の定義域を1次元に押し込めば良いんですかね?」と仰っている意味がようやく分かりました。
f(n,y) = n+y (nは自然数、yは0≦y<100の実数)
であれば、ANo.1に付けられたコメントにあるギザギザの関数みたいなものでも良いけれども、
f(x,y) = x+y (xは実数、yは0≦y<100の実数)
となると行儀良く並べることはできない。

 で、どうするかというと、たとえば

g(z) = f(x,y)
ただし、zを10進数の小数で表現した数字の列を小数点から数えて偶数番目の数字を並べて出来る列が表す数値がx、奇数番目の数字を並べて出来る列が表す数値がy。

という風にするのはひとつの手です。

たとえば
z = 102031.243546
なら
x = 123.456
y = 1.234
ですから、
g(102031.243546) = f(123.456, 1.234) = 123.456+1.234 = 124.69

  x + yに限らず、f(x,y)がどんなものであっても、この手で無理矢理1次元に詰め込むことができる。また、この詰め込み方と本質的には同じことだけれも、2次元の面を埋め尽くす1次元曲線(その曲線のフラクタル次元が2であることが必要条件です)を使ってもうすこしエレガントにx,yとzの対応付けを作ることも出来ます。そのような曲線として最も有名なのはペアノ曲線でしょう。

 ところで「群数列自体が役に立っている」かどうかと言われますと、ええと、「群数列」なんて名前は知らなくたって、結構使ってます。要するに2次元以上の表は群数列とみなせる。
 もっとも「群の区切りを外したもの」gを考える必要は、あまり多くないですね。例を挙げると、
● 有理数に通し番号を付けることによって、有理数の個数は自然数の個数と丁度同じだけある、ということを証明する際には群数列みたいなことをやります。
● http://oshiete1.goo.ne.jp/qa184994.html のような問題では、gの番号の計算がかなり難しい。

 「群数列」なんて言葉、知りませんでした。ちょこっと検索してみると、群数列の要素は「第n群の第m項」などと指定されるとのことで、従って、
(1) 群数列とは数列(有限個の要素からなる数列)を要素とする列、というほどの意味でしょう。
 で、「数列と関数にはアナロジーがあ」ると仰るのは、こういうことでしょうか:

 数列の第n項の要素をf(n)と書くことができるから、数列ってのは自然数から実数(など)への関数である。ここでfの定義域を自然数から実数に拡張すれば、実数から実数(など)への...続きを読む

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

Aベストアンサー

  a[n] = s^n
  b[n] = r^n
より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

Q関数は直交関数列を用いて展開できるか?

関数は直交関数列を用いて展開できるか?
ttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/201fur.html
上のサイトでフーリエ級数展開は関数は直交関数列を用いて展開できることを示唆していると
ありました。これは本当でしょうか

それと級数展開はどのような関数によってなされるのでしょうか
テイラー展開は習いましたがべき級数展開は直交関数列ではなされていないようですが

よく調べてみるとヒルベルト空間の基底ベクトルとかいう話も出てきてよくわかりません
この辺おねがいします。

Aベストアンサー

テイラー展開とは別のお話.

「ヒルベルト空間の基底」という言葉がよく分からないなら
たぶん理解できません.

ぶっちゃけた話,正規直交基底が存在するので
それで表すという話です.
ただし,考える線型空間が無限次元なので
当然基底も無限個あって
一次結合も無限和の形になるというのが概略.
そのような線型空間の例として
ある種類の関数から構成されるヒルベルト空間があるということ.

そもそも,あなたは
「直交関数列」とは何だと思っているのでしょうか?
直交関数列の意味がわかるなら「ヒルベルト空間の基底」も知ってそうなものです.

Q|a(n+1)|≦r|an|⇒|an|≦r^(n-1)|a1|

|a(n+1)|≦r|an|⇒|an|≦r^(n-1)|a1|

これはどういう変形を行っているのでしょうか?
nで割っている?教えてください。

Aベストアンサー

任意の n ≧ 1 で |a(n+1)| ≦ r |an| ( r>0 )が成り立つと言っているわけですから、
n≧2で |a(n)| ≦ r |a(n-1)|
さらに、n>2 のとき |a(n-1)| ≦ r |a(n-2)| も成り立つのだから、
|a(n)| ≦ r |a(n-1)| ≦ r (r |a(n-2)|) = r^2 |a(n-2)|

これを次々と繰り返せば
|a(n)| ≦ r |a(n-1) ≦ r^2 |a(n-2)| ≦・・・ ≦ r^i |a(n-i)| ≦ r^(i+1) |a(n-i-1)| ≦ ・・・
≦ r^(n-2) |a(2)| ≦ r^(n-1) |a(1)|

∴ n≧2 において、|a(n)| ≦ r^(n-1) |a(1)|

Q単調数列の証明問題です

自分なりに、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
間違いがあれば、ご指摘いただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

【問題】
数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列であるか?
理由とともに、単調な場合には、単調増加であるか単調減少であるか
についても求めよ。

【証明】
まず、単調増加であるかについて証明する。
(n-1)/(n+1) = {(n+1)-2}/(n+1) = 1-{2/(n+1)}と変形させる。
これにより、1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単調減少であるため、-2/(n+1)は単調増加である。
よって、1-{2/(n+1)}も単調増加であることが証明される。

次に有界であるかについて証明する。
n→∞とするとき、{1-(1/n)}/{1+(1/n)}→1となる。
よって、1-(n-1)/(n+1) = 2/n+1 > 0とあらわすことができる。
ゆえに、数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列である。
証明終わり。

自分なりに、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
間違いがあれば、ご指摘いただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

【問題】
数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列であるか?
理由とともに、単調な場合には、単調増加であるか単調減少であるか
についても求めよ。

【証明】
まず、単調増加であるかについて証明する。
(n-1)/(n+1) = {(n+1)-2}/(n+1) = 1-{2/(n+1)}と変形させる。
これにより、1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単調減少であるため、-2/(...続きを読む

Aベストアンサー

うーむ。伝わらんかった。

数列が収束することと、有界であることは別の概念です。
今の問題では収束性の証明は求められていないので書くだけ無駄です。

学校の試験問題だと、不要な記述は定義がわかっていないととらえられて、減点される可能性があります。
また、有界性の証明を求められている場合は、下に有界であることについての言及も必要です。
明らかだからといって書かないとこれも減点されるでしょう。

Q数列{an}、{bn}の共通項から数列作成問題

よろしくお願いします。
an=8n-2
bn=6n+2
とする。

数列{an}と{bn}に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列{cn}
を作る時、cnの初項と公差を求めよ。

という問題で

anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、
8m-4=6n+2
⇔2(2m-1)=3n

これより2と3は互いに素だからn=2k
と表せられる。
よってbnのnに2kを代入して、
cn=b2k=6(2k)+2=12k+2
ゆえにcn=12n+2


と解きましたが間違っておりました。

解答では、
an=8n-2=8(n-2)+14
bn=6n+2=6(n-2)+14
と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+14
よって
4(m-2)=3(n-2), m≧2、 n≧2
4と3は互いに素だから、kを自然数として
m-2=3(k-1)
よってm=3k-1からcnはanの第3k-1項であり、
8(3k-1)-2=24k-10=14+(k-1)*24
したがって初項14、公差24である。

と解いてありました。

私の解答のどこがいけないのか、解答は一体何をやっているのか
を教えて下さい。
よろしくお願いします。

よろしくお願いします。
an=8n-2
bn=6n+2
とする。

数列{an}と{bn}に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列{cn}
を作る時、cnの初項と公差を求めよ。

という問題で

anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、
8m-4=6n+2
⇔2(2m-1)=3n

これより2と3は互いに素だからn=2k
と表せられる。
よってbnのnに2kを代入して、
cn=b2k=6(2k)+2=12k+2
ゆえにcn=12n+2


と解きましたが間違っておりました。

解答では、
an=8n-2=8(n-2)+14
bn=6n+2=6(n-2)+14
と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+1...続きを読む

Aベストアンサー

#1です。

>2と3は互いに素だからn=2k
>代入して2(2m-1)=3*2k
>⇔m=(3k+1)/2
>mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…)
>よってn=2k=4t-2
>cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-1

そうですね。
もう少し丁寧に言葉は補った方がよいですね。
逆にくどくなるかもしれませんが、記述式であれば以下のような感じで。
---------------------------------------------------
数列 {a(n)}の第 m項と、数列 {b(n)}の第 n項が等しくなるとすると、
8m- 4= 6n+ 2
2(2m- 1)= 3n ・・・(1式)

2と 3は互いに素だから、nは 2の倍数となり、
n= 2k(k= 1, 2, 3, ・・・)と表される。

(1式)に代入して、2(2m-1)= 3* 2kより m= (3k+1)/2
mは自然数であるから、kは奇数でなければならない。
これより、k= 2t- 1(t= 1, 2, 3, ・・・)と表される。


(1式)を満たす nは n= 2(2t- 1)(t= 1, 2, 3, ・・・)と表され、
数列 {c(n)}の一般項は
c(t)= b(2(2t-1))= 6*2(2t-1)+ 2= 24t- 10

と表される。

よって、数列 {c(n)}の初項は 14、公差は 24となる。

#1です。

>2と3は互いに素だからn=2k
>代入して2(2m-1)=3*2k
>⇔m=(3k+1)/2
>mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…)
>よってn=2k=4t-2
>cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-1

そうですね。
もう少し丁寧に言葉は補った方がよいですね。
逆にくどくなるかもしれませんが、記述式であれば以下のような感じで。
---------------------------------------------------
数列 {a(n)}の第 m項と、数列 {b(n)}の第 n項が等しくなるとすると、
8m- 4= 6n+ 2
2(2m- 1)= 3n ・・・(1式)

2と 3は互いに素だから、nは 2の倍数となり...続きを読む

Q等差数列であることの証明

 数列{an}、{bn}が等差数列ならば、{a5n}も等差数列であることを証明せよ。

で、それぞれの公差をc、dとして、
a5(n+1)-a5n=c   

という考え方をするらしいのですが、
どうしてそうなるのかと、解答のしかたが分かりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

数列a_nが等差数列ということは

a_(n+1) = a_n + k

ですね。(「_」は添え字を表します) kは数列a_nの公差です。
すると、

a_{5(n+1)} = a_(5n+5) = a_(5n+4) + k = a_(5n+3) + 2k = ・・・ = a_(5n) + 5k

となります。つまり、数列a_(5n)は公差5kの等差数列であることがわかりますね。

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。

Q有界な単調数列の証明(再掲)

こちらの皆様のご指導のもと、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
証明が変なところがあれば、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は
有界な単調数列であるか?
理由とともに、単調な場合には、
単調増加であるか単調減少であるかについても求めよ。

【証明】
まず、有界かどうかについて証明する。
n→∞とすると、
lim[n→∞] { 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }
=lim[n→∞] (n-1+2-1)/(n+1)
=lim[n→∞] 1-2/(n+1)=1
よって、有界。

つぎに単調増加について証明する。
(n-1)/(n+1) = (n+1-2)/(n+1) = 1-2/(n+1)と変形させることにより、
1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単減少であることより、-2/(n+1)は単調増加。
よって、1-2/(n+1)も単調増加であることが証明される。
∴数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は、
有界な単調増加である。

こちらの皆様のご指導のもと、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
証明が変なところがあれば、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は
有界な単調数列であるか?
理由とともに、単調な場合には、
単調増加であるか単調減少であるかについても求めよ。

【証明】
まず、有界かどうかについて証明する。
n→∞とすると、
lim[n→∞] { 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }
=lim[n→∞] (n-1+2-1)/(n+1)
=lim[n→∞] 1-2/(n+1)=1
よって、有界。

つぎに単調増加に...続きを読む

Aベストアンサー

かなり微妙な証明・・・・

>よって、有界。
善意に解釈すれば「収束する数列は有界」という
事実を使っているとみなせるので
論理的には間違ってないのだが・・・
この前半部分はまったく不要だから
出題者からみれば
「論理的には間違ってはいないが
内容はまったく理解していない.」としか見えないだろう.

>つぎに単調増加について証明する。
この後半部分だけで問題の解答になっているんだが,
それに気がついていないし,
さらに余計な前半部分があるために
ますます「内容を理解していない」としか見えないだろう.

Q{s_n}をf∈L^+(a,b)の定義関数列とする時,lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ

L^+(a,b) を区間(a,b)上の非負可積分関数全体の集合とする。

f∈L^+(a,b)に対し,定義関数列{s_n}が存在する。その時,
lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ。
(この∫は単関数のルベーグ積分)

という問題なのですがどのように証明していいのか分かりません。
定義関数列の定義からs_1(x)≦s_2(x)≦…≦f(x)
でs_n(x)はf(x)に近づいていくので0となる事は直観では分かるのですが…。

どのようにすればいいのでしょう?

Aベストアンサー

つまり
s_n(x)の存在を示して
f(x)=lim[n→∞]∫[a..b](s_n(x))dx
が成立するのを言えばいいのではないでしょうか。

P27,28に書いてあります。

参考URL:http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf


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