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よくある問題です。
Sn=1*p*(1-p)^0+2*p*(-p)^1+3*p*(1-p)^2+・・・+n*p*(1-p)^(n-1)
とおきます。
これを求めるには、Snに(1-p)をかけたものを考えます。
(1-p)Sn= 1*p*(1-p)^1+2*p*(-p)^1+・・・+(n-1)*p*(1-p)^(n-1)+n*p*(1-p)^n
Sn=1*p*(1-p)^0+2*p*(-p)^1+3*p*(1-p)^2+・・・+n*p*(1-p)^(n-1)
後は、上の式から下の式を引き算すると
-p*Sn=-1*p*(1-p)^0-1*p*(1-p)^1-1*p*(1-p)^2-・・・-1*p*(1-p)^(n-1)+n*p*(1-p)^n
最後の項を除いたものは初項p,公比(1-p),項数nの等比数列の和ですから後は簡単ですね。
もちろん、0<p<1だとは思いますので、この級数の収束は簡単に求められます。
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