時々塾などで「3の倍数はその数の和（例えば372だったら3+7+2）を

時々塾などで「3の倍数はその数の和（例えば372だったら3+7+2）を3で割り切れた数です。」とおしえられますが、なぜその数の和が3で割り切れたら3の倍数なのでしょうか？理由が分かりません。教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/11 23:36

こんばんわ。

たとえば、「372」は、3×100+ 7×10+ 2となりますね。
100＝ 99+1、10＝ 9+1と置き換えれば、

372
＝ 3×(99+1)+ 7×(9+1)+ 2
＝ (3×99+ 7×9)＋ (3+ 7+ 2)

と変形できます。
前のかっこは 3で割り切れます。
ということは、後ろのかっこが 3で割り切れれば、全体も 3で割り切れることになります。


気付いているかもしれませんが、同じ考え方で 9で割り切れる条件も
「各ケタの数を足した数が 9で割り切れること」だということもわかると思います。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2010/05/12 11:28

６桁の数ａｂｃｄｅｆで考えます。

ａ＝０でｂ≠０あれば５桁の数になります。
ａ＝ｂ＝０でｃ≠０あれば４桁の数です。


２で割れる・・・　　ｆが２で割れたらいい（偶数であればいい）
３　　　　　　・・・　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆが３で割れたらいい
４　　　　　　・・・　　下２桁　ｅｆが４で割れたらいい
５　　　　　　・・・　　ｆが０か５であればいい
６　　　　　　・・・　　３で割れて２で割れたらいい（偶数で３の倍数であればいい）
７　　　　　　・・・　　（ａ－２ｂ－３ｃ）－（ｄ－２ｅ－３ｆ）が７で割れたらいい
８　　　　　　・・・　　下３桁　ｄｅｆが８で割れたらいい
　　　　　　　　　　　　４ｄ＋２ｅ＋ｆが８で割れたらいい
９　　　　　　・・・　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ　が９で割れたらいい　

No.4 回答者： rock_name 回答日時： 2010/05/11 23:52

100の位の数をa、100の位の数をb、1の位の数をcとおく。

100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)

となるので、a+b+cが3で割り切れれば
(3で割り切れる数)+(3で割り切れる数)+(3で割り切れる数)=(3で割り切れる数)
となります。



あと、上の証明とは別のアプローチをしてみます。


まず最初に、６があるとします。６は３で割れますね。これに３を足したら、当然３で割れる９ができます。そして、各桁の合計を見ると

６・・・1の位：６→合計６
９・・・1の位：９→合計９

各桁の合計も３増えています。繰り上がりが無いので当然ですね。


続いて、９に３を足します。当然３で割れる１２ができます。では各桁の合計を見てみます。

９・・・10の位：0、1の位：9→合計9
12・・・10の位：1、1の位：2→合計3

合計が６減っています。３の倍数である６だけ減ったので、合計も３で割れるままです。

「３を足す」というのは、「10足して７引く」と同じです。
この「10足して７引く」を各桁の合計で見ると、「１足して７引く」つまり「６引く」ですね。

ですから、繰り上がりがあってもなくても、３ずつ足していけば各桁の合計は３の倍数のままです。

(99に3足して102になると・・・100の位：+1、10の位：-9、1の位-7→合計は-15)


ちょっと分かりにくいかもしれないですね。ゴメンナサイ。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/05/11 23:34

　中学生でしょうか。

　3桁の場合で考えてみます。
　百の位がｘ、十の位がｙ、一の位がｚという3桁の整数の各位の和が３の倍数だとします。

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝３ｎ　（ｎ：整数）　　　・・・・（１）

　3桁の整数Ｎは次のように表されます。

　　Ｎ＝１００ｘ＋１０ｙ＋ｚ＝（９９ｘ＋９ｙ）＋ｘ＋ｙ＋ｚ　＝３（３３ｚ＋３ｙ）＋（ｘ＋ｙ＋ｚ）　　　←　ここの計算で＃１さんの考え方が効いてきます。

　ここで式（１）を代入しますと、3桁の整数は次のように表されます。

　　Ｎ＝１００ｘ＋１０ｙ＋ｚ＝３（３３ｚ＋３ｙ）＋３ｎ　＝３（３３ｚ＋３ｙ＋ｎ）

　３３ｚ＋３ｙ＋ｎは整数ですので、３桁の整数Ｎは３の倍数であることが示されます。

　ここでは、３桁の整数の場合について考えてみましたが、何桁であっても同じ考え方で示すことができます。


　もし高校生でしたら、数学的帰納法などを使って考えても良いかと思います。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/05/11 23:20

1,10,100,1000,10000,...は3で割ったら余りが1だから