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一次変換Fによる 直線の像を求めてください
(1 -1)  x + y + 1 = 0
(2  3)

A.x + 2y + 5

何をすればいいのかが分かりません
教えてください。お願いします

A 回答 (2件)

一次変換は、直線を、直線または一点に移します。

このことから、
x + y + 1 = 0 上の点を勝手に2個とって、それらの F による像を計算すれば、
x + y + 1 = 0 の F による像も解ります。
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この回答へのお礼

解けました。ありあとうございました。

お礼日時:2010/07/10 18:09

こんにちわ。



一次変換自体は、「点の写像」を与えていることになります。
というところで、
(1) 直線:x+ y+ 1= 0上の点を媒介変数表示で表します。
(2) (1)で媒介変数表示にした点の一次変換の像を求めます。
(3) (2)の像となる点の座標から、媒介変数を消去すると直線の式が現れる(はずです)。

過去に回答させてもらった質問も参考として、URLをつけておきます。
http://okwave.jp/qa/q5721513.html
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Q1次変換の問題について

1次変換についての問題をといています。
次の問題について教えてください

次の各行列で表される1次変換により自分自身に移される直線の方程式をすべて求めよ
行列   3 2
      2 3

この問題の考え方からさっぱりです。
よろしくお願いします。

行列式が見にくくてすいません

Aベストアンサー

1次変換の問題とするから、わからないんだろう。
座標の問題とすると、簡単。実際に、座標の問題なんだが。
やってみよう。

直線を ax+by+c=0とする‥‥(1)。但し、aとbは同時に0にならない。
点(3x+2y、2x+3y)が(1)の上にあるから、a(3x+2y)+b(2x+3y)+c=0  → (3a+2b)x+(2a+3b)y+c=0 ‥‥(2)。
題意から、(1)と(2)が一致するから、(3a+2b)/(a)=(2a+3b)/(b)=c/c
・c=0のとき、(3a+2b)/(a)=(2a+3b)/(b) よりa=±bだから、(1)は y=±x
・c≠0のとき、(3a+2b)/(a)=(2a+3b)/(b)=1 よりa+b=0 となるから、(1)は a(y-x)+c=0 → y=x+m とあらわせれる。但し、mは任意の実数。

以上から、求めるものは y=-x、y=x+m 但し、mは任意の実数

Q行列Aによって表わされる1次変換によって、直線y=mx上の任意の点が、

行列Aによって表わされる1次変換によって、直線y=mx上の任意の点が、この同じ直線上にうつるという。mの値を求めよ。

Aベストアンサー

行列Aで点(1,m)を変換すると、(3+m,2+4m)
これが、直線y=mx上にあるということは、
2+4m=m(3+m)
これを解く。

Q一次変換と直線の移動について

行列A=
(3 -2)で表される一次変換fによって、
(-2 1)
直線l:x-4y+4=0はどのような図形に移されるか。
とあって、
直線l上の点(x,y)は、実数tを用いて
x=4t-4、y=tと表されるから・・
とあるのですが、どうしてyがtとなるのかわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>とあるのですが、どうしてyがtとなるのかわかりません。

x-4y+4=0
x=4y-4

yがtとなるのではなくて,
上の式から「 y=t とすると,x=4t-4 とおける。」
ということです.

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q線形代数で部分空間かどうかの判定

R^2内の次の直線、曲線がR^2の部分空間かどうか判定せよ。

(1) y=3xを満たすベクトル[x;y]の全体
(2) y=2x+1を満たすベクトル[x;y]の全体
(3) y=x^2を満たすベクトル[x;y]の全体

…という問題で、本の答えはそれぞれ、

(1) 部分空間
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間ではない

…となっています。しかし、例題が載っていないので
どうやって解いたのかいまいち理解できていません。

多分、次の定理を使うんだと思います:
ベクトル空間Vの部分集合Wが部分空間であるための必要十分条件
(1) W=Φ
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W

Aをm×n行列とするとき、
W={x∈R^n | Ax=0}
はR^nの部分空間である。

…ここからは推測ですが、
(1)はyと3xが比例しているような関係で
「xのちょうど3倍がyになる」から部分空間なのですか?

(2)は+1があって原点を通らないので
部分空間じゃないのですか?
もし、y=2xだったら部分空間ですよね?
+1や-1が付くような場合はすべて
「部分空間じゃない」と考えてもいいですか?

(3)は原点は通っていても
yがxの二乗に比例しているので
部分空間じゃないんですよね(倍数では表せないので)?

宜しくお願いします。

R^2内の次の直線、曲線がR^2の部分空間かどうか判定せよ。

(1) y=3xを満たすベクトル[x;y]の全体
(2) y=2x+1を満たすベクトル[x;y]の全体
(3) y=x^2を満たすベクトル[x;y]の全体

…という問題で、本の答えはそれぞれ、

(1) 部分空間
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間ではない

…となっています。しかし、例題が載っていないので
どうやって解いたのかいまいち理解できていません。

多分、次の定理を使うんだと思います:
ベクトル空間Vの部分集合Wが部分空間であるための必要十分条件
(1) W=...続きを読む

Aベストアンサー

まず、質問者さんが「次の定理」と呼んでいるのは多分「定理」じゃなくて「定義」です。
定理と定義の違いは重要です。
(1)は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね?
問題に与えられた3つの図形は明らかにΦじゃありません。
では、問題に与えられた各図形が
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
を満たすかどうか考えて見ましょう。
良いですか? どちらか片方じゃなくて両方満たさなくては部分空間とは言えないんですよ。
逆に言うと、どちらか片方でも満たさなければ部分空間ではないわけです。

まず(1)の図形:
二つのベクトル a = (x_1,y_1) と b = (x_2,y_2) が W の元だとしましょう。これは、y_1 = 3x_1, y_2 = 3x_2 が成り立つという事です。
では、a + b = (x_1 + x_2,y_1 + y_2) はどうでしょう?
もし、
y_1 + y_2 = 3(x_1 + x_2)
が成り立てば、性質(1)が満たされる訳ですが、成り立たないときは満たされない訳です。
次に、性質(2)はどうでしょう。
λa = (λx_1,λy_1) ですから、
λy_1 = 3(λx_1)
が成り立てば、性質(1)が満たされ、成り立たない場合は満たされないわけです。

次に(2)の図形…
a = (x_1,y_1), b = (x_2,y_2) が(2)の図形にあるのは、
y_1 = 2x_1 + 1 と y_2 = 2x_2 + 1
が満たされるときです。このとき、
a + b が性質(1)を満たすとは、
y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) + 1 が成り立つという事です。
これは本当ですか?

(3)の図形も同じように考えてみましょう。

ところで、質問者さんは例題が本に載っていないと仰いますが、先生は授業中に例題を見せてくれませんでしたか?

***********************
**本当に授業を真面目に聞いていましたか?**
***********************

それから、次回こういう質問があったらネットで聞いたりしないで、先生のところに聞きに行きましょう。
必ず、よろこばれますから。
先生って、質問に来てくれる学生はかわいいもんです!

まず、質問者さんが「次の定理」と呼んでいるのは多分「定理」じゃなくて「定義」です。
定理と定義の違いは重要です。
(1)は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね?
問題に与えられた3つの図形は明らかにΦじゃありません。
では、問題に与えられた各図形が
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
を満たすかどうか考えて見ましょう。
良いですか? どちらか片方じゃなくて両方満たさなくては部分空間とは言えないんですよ。
逆に言うと、どちらか片方でも満たさなければ部...続きを読む

Q一次変換 線形変換

行列
A= 1 -4
   4 1
で表される線形変換がありその変換で 円 x^2+y^2=1はどのような図形に写されるか求める問題で、
(x')=(1 -4 )(cost)
(y')=(4  1 )(sint)
より
(x')^2+(y')^2=17
よって x^2+y^2=17と解答ではそうなっています。
costやsintはどこから来たのでしょうか?
Aが直交行列だからなのですか?

もうひとつ
B=1 -2
  -2 4
の場合の答えを教えてください。
Aのようには解けないので困ってます。

Aベストアンサー

cosθ, sinθ については、A No.1 にある通り。
これは、x^2 + y^2 = 1 のパラメータ表示です。

A での変換は、A に逆行列があることから、
転置(x',y') = A 転置(x,y) を
(x,y) = (A^-1) 転置(x',y') と変形して、
x^2 + y^2 = 1 ヘ代入してもいいけどね。

B での変換は、非可逆なので、パラメータ表示が
真価を発揮する所だけれど、A No.1 は
残念ながら、間違い。
像は、直線ではなく、線分です。
cos(t) - 2 sin(t) の値域を、求めてみて。

Q2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。

Q行列の逆変換の定義

線形代数に出てくる「逆変換」という言葉の意味がよくわからず、教科書にも載っていなかったので質問させていただきます。

一次変換を表す行列Aがあったとして、Aが一次独立であれば、正則であるということだから、逆行列A^(-1)が存在し、このA^(-1)を「逆変換を表す行列」と呼ぶということでしょうか?つまり、逆変換が存在するのかしないのかは、逆行列をもつか持たないかによるということですよね?

Aベストアンサー

「変換」と「関数」は同じような意味だから同じように考えればいい.
関数 y = f(x) を x について解いて x = g(y) となるとすると, 改めて変数を入れ替えた y = g(x) がもとの y = f(x) の逆関数.
同様に, 変換 y = T(x) を x について解いて x = U(y) となったとき, 変数を入れ替えた y = U(x) がもとの y = T(x) の逆変換.
ちなみに変数を入れ替えているのは「普通独立変数を x, 従属変数を y とおくから」というだけ.
そして, A が一次変換 y = T(x) を表す行列である (つまり y = Ax) ときに A が逆行列をもてば T も (一次変換である) 逆変換を持ち, この逆変換を表す行列は A の逆行列となる.
最後の結論はあってるんだけど, 途中の流れがなんかあやしい.

Q論理加算と算術加算ってなんですか?

論理加算と算術加算ってなんですか?

wikiでしらべたんですが専用ページがないんですね
検索もしてみましたがどうやらしっていてあたりまえのような扱いになっていて説明がありません
caslの勉強をはじめたのですが論理加算と算術加算とは何か教えてください

Aベストアンサー

例えば、
0110+0101
の演算の場合、

論理演算:
0110+0101
→偽真真偽 OR 偽真偽真
→偽真真真
→0111

算術演算:
0110+0101
→6 + 5 (十進数)
→11 (十進数)
→1011

だとか。


> 論理加算と算術加算とは何か教えてください

算術加算は小学校なんかで習う足し算。

論理加算は、通常は論理和の事です。

Wikipedia - 論理演算
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E6%BC%94%E7%AE%97

Q一次変換の問題について教えて下さい

A=(3,-9,-2,6)(二次の正方行列です)の表す1次変換をfとする
fにより直線2x+y-1=0が移される図形は?

という問題なのですが
固有方程式を使ってλを出そうとしたのです出ず、
つまってしまいました。
問題の解説をしていただきたいです

Aベストアンサー

こんにちわ。
固有値を求めなくとも、
 1) 直線上の点をパラメータ:tを用いて表しておいて、
 2) その点の fによる像を求め、
 3) tを消去して、xと yの関係式(図形の式)を求める。

・一次変換は「点を点に移す変換」であること
・そして、直線や曲線は「点の集まり」であること
この 2点を頭の片隅に入れておくと、考えやすくなると思います。


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