数学の問題で、点(4.2)を通り円ｘ(2)＋ｙ(2)＝４に接する２本の

数学の問題で、点(4.2)を通り円ｘ(2)＋ｙ(2)＝４に接する２本の直線の接点をＰ.Ｑとするとき、直線ＰＱの方程式を求める問題です。
()は二乗のことです。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/03/01 10:32

この場合、点（4、2）を極といい、直線ＰＱを極線という。

説明が面倒なので、極と極線で検索してみると良い。

円上のＰ（α、β）、Ｑ（γ、δ）における接線は、各々、αx＋βy＝4、γx＋δy＝4.
これら2直線が点（4、2）を通るから、4α＋2β＝4、4γ＋2δ＝4である。
ところが、これは2点Ｐ、Ｑを通る直線が　4x＋2y＝4　つまり　2x＋y＝2　である事を示している。
従って、直線ＰＱの方程式の方程式は　2x＋y＝2。

この極と極線は、最近の入試問題では頻出問題になっているから憶えておかねばならない。

No.4 回答者： noname#112109 回答日時： 2010/02/27 23:08

点(4.2)を通る直線の方程式は，y－2＝m(x－4)，すなわちmx－y－4m＋2＝0とおける。

ここで，点と直線の距離の公式を用いて
|m・0－1・0－4m＋2|/√(m^2＋(－1)^2)＝|－4m＋2|/√(m^2＋1)＝2
|－4m＋2|＝2√(m^2＋1)　両辺を2乗して
16m^2－16m＋4＝4m^2＋4　12m^2－16m＝0
4m(3m－4)＝0　m＝0,4/3
m＝0のとき，y－2＝0　y＝2　x^2＋y^2＝4に代入して
x^2＋4＝4　x＝0　このときの接点の座標は(0，2)
m＝4/3のとき，y－2＝4x/3－16/3　y＝4x/3－10/3　x^2＋y^2＝4に代入して
x^2＋(4x/3－10/3)^2＝25x^2/9－80x/9＋100/9＝4
25x^2/9－80x/9＋64/9＝0　25x^2－80x＋64＝0
(5x－8)^2＝0　x＝8/5　y＝4x/3－10/3に代入して
y＝32/15－10/3＝32/15－50/15＝－18/15＝－6/5
このときの接点の座標は(8/5，－6/5)
よって直線PQの方程式は
y－2＝{((－6/5)－2)/(8/5)}x　y＝－2x＋2……(答)

No.3 回答者： f272 回答日時： 2010/02/27 21:18

x^2+y^2=4は原点O(0,0)が中心で半径が2の円なのだから点A(4,2)を通る接線の１つは，明らかにy=2で接点はP(0,2)に決まってるよね。

それから直線OAと直線PQは直交するのだから，直線PQの傾きは暗算でわかる。
というわけで直線PQの傾きとPの座標が分かれば，直線PQの式はすぐにわかる。
２次式など難しい計算は全く必要なしにとけるはず。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/27 19:30

自分でやった途中計算を書いて、何が分からないか補足にお書きください。

解き方
手順１）直線 y=m(x-4)+2とおき円の方程式に代入、できるxの2次方程式の判別式D=0から、2本の接線の傾きm1,m2を求める。
手順２）2本の接線と円の方程式を連立方程式として接点の座標P(x1,y1),Q(x2,y2)を求める。
手順３）ＰＱを通る方程式
y-y1=(x-x1)(y1-y2)/(x1-x2)
を求める。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/02/27 19:03

自分でできたところまで示してください。