測量の誤差全般について

Question

標記の件について、ネットや参考書を読んでいるのですが、
恥ずかしながら今ひとつ理解できません。
すみませんが、御教示頂きたく宜しくお願い致します。

質問１
「確率誤差」とは50%の確率で生じる誤差の範囲とすると、「平均２乗誤差」も何％で生じる誤差の範囲とかで定義されるのでしょうか？（「平均２乗誤差」がイメージできなくて悩んでおります。）
　また、「平均２乗誤差」が「ガウスの誤差曲線」にどう関係するか合わせて御教示お願いします。

質問２
「確率誤差」は、下式の様に「標準偏差」や「平均２乗誤差」を使ってを求める様ですが、
それぞれ違った値で導かれた結果をどう理解して使い分けたらようのでしょうか？

ε＝０．６７４５×標準偏差
ε＝０．６７４５×平均２乗誤差

ramayana · Accepted Answer

ANo.2です。ANo.3の補足の質問にお答えします。

＞誤差曲線は以下のような理解でよろしいでしょうか？

前回の文献の用語に従えば、そのとおりだと思います。

蛇足ですが、「確率誤差」や「平均２乗誤差」の大きさは、矢印の、中心線から左側部分（あるいは右側部分）の長さに一致します。

ramayana · Answer

ANo.2です。補足の質問にお答えします。

＞（質問２について）
＞「ε＝０．６７４５×平均２乗誤差」は誤りとのご指摘につきまして、
＞下記文献で記述している内容は、どのように理解したらよろしいでしょうか？

示された文献の「平均２乗誤差」は、ANo.2の平均２乗誤差の平方根を指しています。これは、ANo.2で「平均２乗偏差」と称したのと同じものです。また、８ページと９ページしか見られないのではっきりとしませんが、「系統誤差＝０」を前提にしているように見えます。したがって、ANo.2の最後に書いたように、ご質問の１番目の式と２番目の式は、まったく同じものです。このことは、８ページの[2]式にあるmの計算式が、標準偏差の計算式そのものであることからも補強されます。

インターネットで検索したところ、同じ「平均２乗誤差」という言葉で、ANo.2の意味に使っているものと、写真の文献の意味で使っているものとが混在していました。紛らわしいことです。

＞（質問１について）
＞「平均２乗誤差は、68%の確率で起こる誤差の範囲の平方」とは、√68=8.25%の理解でよ＞ろしいでしょうか？

多分、違うと思います。

数値例を挙げます。偏りのない体重計で体重を測るとして、系統誤差が0キログラム、偶然誤差の標準偏差が0.1キログラムとします。また、真値が60キログラムとします。

このとき、

確率誤差＝0.6745×0.1=0.06745

となります。これは、計測値が59.93255（60-0.06745）から60.06745（60+0.06745）の間になる確率が50％であると解釈されます。

また、

平均２乗誤差（ANo.2の意味）=0.1の平方＝0.01

となります。これは、「計測値と真値との差の平方が0.01以下となる確率」すなわち「計測値と真値の差が0.1以下となる確率」すなわち「計測値が59.9（60-0.1）から60.1（60+0.1）の間にある確率」が68％であると解釈されます。

ramayana · Answer

ご質問に答える前に、まず、「誤差」を「系統誤差」と「偶然誤差」に分けることを説明します。

誤差＝系統誤差＋偶然誤差

です。また、「誤差」そのものと、「誤差の大きさ」が違う概念であることも説明します。

（系統誤差と偶然誤差）

「系統誤差」とは、測量の偏りのことです。狂った体重計で何回体重を測っても、真の体重からは一定程度ずれた体重しか計測されません。そのような原因で起こる誤差のことを「系統誤差」と言います。

「偶然誤差」とは、真値と測量値の差のうち、系統誤差以外のものです。偶然誤差は、測量のたびに値が変わり、その期待値は0です。

（誤差の大きさ）

次に、それぞれの誤差の大きさを測ることを考えます。系統誤差については

系統誤差の大きさ＝系統誤差の絶対値

となります。

偶然誤差は、測量の度に値が異なるので、若干工夫が必要です。

偶然誤差の大きさ＝偶然誤差の標準偏差＝68％の確率で起こる誤差の範囲

とするのが普通ですが、ご質問の「確率誤差」のように

偶然誤差の大きさ＝確率誤差＝0.6745×偶然誤差の標準偏差＝50％の確率で起こる誤差の範囲

とすることもできます。なお、「確率誤差」という言葉は、ご質問では、偶然誤差の大きさを測る尺度として使っておられますが、偶然誤差そのものを「確率誤差」ということもあるので、文献を読むときは注意が必要です。

「平均２乗誤差」とは、誤差全体の大きさを測る尺度です。

平均２乗誤差＝誤差の２乗の期待値＝系統誤差の２乗＋偶然誤差の分散

となります。

（質問１について）

ご質問の用語に合わせると

確率誤差は、50％の確率で起こる偶然誤差の範囲

となります。平均２乗誤差について、敢えて似たような言い回しをするとすれば、

平均２乗誤差は、68%の確率で起こる誤差の範囲の平方

となります。50％と68％の違いもありますが、より本質的なのは、確率誤差が偶然誤差の大きさの尺度なのに対して、平均２乗誤差は、誤差全体（系統誤差＋偶然誤差）の大きさの尺度である点です。

なお、「ガウスの誤差曲線」とは、「正規分布」の曲線のことであり、偶然誤差の分布が、通常、正規分布で近似されることから、誤差曲線と呼ばれているものです。

（質問２について）

平均２乗誤差に0.6745をかけるのは意味がありません。２番目の式は、何かの間違いと思われます。

なお、平均２乗誤差の平方根のことを「平均２乗偏差」といいますが、仮に系統誤差が0だったとすると、

ε＝0.6745×平均２乗偏差

は、１番目の式と同じ意味になります。

hitokotonusi · Answer

「標準偏差」、「平均２乗誤差」の定義を書いてください。

どうも、同じ言葉が複数の意味で使われていることがあるようなので。

測量の誤差全般について

ANo.2です。

ANo.2です。

この回答への補足

ご質問に答える前に、まず、「誤差」を「系統誤差」と「偶然誤差」に分けることを説明します。

この回答への補足

「標準偏差」、「平均２乗誤差」の定義を書いてください。

この回答への補足

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