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なかなか解けなくて困っています。
できるだけ詳しい解説、解答がいただけると嬉しいです。

問.レジが一か所だけのコンビニがある。商品を持ってレジに来る客は、平均到着率がλのポアソン到着であり、レジでの会計はサービス率がμの指数分布サービスであるとする(ただし、μ>λ)時刻tにおいて、会計を待つ客の数がnである確率をPn(t)で表すとして以下の問いに答えなさい。

(1)Pn(t+⊿t)をPn(t)、Pn-1(t)、Pn+1(t)、λ、μ、⊿tを用いて表せ。

(2)P0(t+⊿t)をP0(t)、P1(t)、λ、μ、⊿tを用いて表せ。

(3)上の二式より⊿t→0の極限をとってPn(t)、P0(t)が従う微分方程式を導き、さらにPn(t)、P0(t)は定常であるとしてPnとP0の関係式を求めよ。


レジに来る客は一時間に平均80人、レジでの会計には一人平均30分かかるという。

(4)商品をもって会計に行った時、レジの空いている確率はいくらか

(5)会計を待って列に並んでいる人数は平均何人か。

(6)列に並んでいる時間は一人平均何分か。

(7)レジに並び始めてから会計を終えて立ち去るまでにかかる時間は、一人平均何分か。

どうか、よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

(1) P[n](t+⊿t)=(1-μ⊿t)λ⊿tP[n-1](t)+{(1-μ⊿t)(1-λ⊿t)+μ⊿t*λ⊿t}P[n](t)+μ⊿t(1-λ⊿t)P[n+1]



(2) P[0](t+⊿t)={(1-λ⊿t)+μ⊿t*λ⊿t}P[0](t)+μ⊿t(1-λ⊿t)P[1](t)

(3) P'[n](t)+(μ+λ)P[n](t)=λP[n-1](t)+μP[n+1](t)
   P'[0](t)+λP[0](t)=μP[1](t)

 P'[0](t)=P'[n](t)=0 のとき
  P[1]=ρP[0]  (ただし、ρ=λ/μ)
  (μ+λ)P[n]=λP[n-1]+μP[n+1] 
だから、この漸化式を解いて
 ∴P[n]=ρ^n*P[0]
  
(以上詳細は、下記URL参照)
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427 …

(4) 1=Σ[n=0→∞] P[n] =P[0]/(1-ρ) ∴P[0]=1-ρ
>レジに来る客は一時間に平均80人、レジでの会計には一人平均30分かかるという。
 レジの処理時間が遅くないですか? 以下、30秒 の誤りとして計算します。
 λ=80[人/時], μ=120[人/時] ∴ρ=λ/μ=2/3
  P[0]=1-ρ=1/3

(5) コンビニ内の平均客数Lは
  L=Σ[n=0→∞] nP[n] =(1-ρ)Σ[n=1→∞] nρ^n =ρ/(1-ρ)  (∵ L-ρLの計算から)
 列に並んでいる平均客数Lqは
  Lq=Σ[n=1→∞] (n-1)P[n] =L-(1-P[0]) =ρ^2/(1-ρ) =4/3 [人]

(6) 平均待ち時間Wqは
  Wq=Lq/λ =ρ/{μ(1-ρ)} =1/60 [時間] =1 [分]

(7) Wq+1/μ =1/40 [時間] =1.5 [分]

(以上詳細は、下記URL参照)
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427 …


 計算ミスがあるかもしれませんが、よろしければ参考にしてください。
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