二等分線であることの証明

△ABCの辺BC上の点Pについて、BP:PC=AB:ACが成り立つならばAPは∠Aの二等分線である。・・・(*)
四角形ABCDの2つの内角∠A、∠Cの二等分線の交点が、対角線BD上にあるならば、2つの内角∠B、∠Dの二等分線の交点も、対角線AC上にあることを、(*)を使って証明せよ。

(解答)
∠A、∠Cの二等分線の交点をE、∠Bの二等分線とACの交点をFとする。AE、CEはそれぞれ∠A、∠Cの二等分線であるから、△ABDにおいて BE:ED=AB:AD
△BCDにおいてBE:ED=BC:CD
よってAB:AD=BC:CDから AB・CD=AD・BC
これから 【AB:BC=AD:CD】・・・(1)
BFは∠Bの二等分線であるから、△ABCにおいて
AF:CF=AB:BC・・・(2)
(1)、(2)から AF:CF=AD:CD
したがって、(*)からFDは∠Dの二等分線である。ゆえに、題意は示された。


質問は、【 】でくくった部分です。
なぜ、そのような式ができたのか理由を教えてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#125931 回答日時： 2010/12/28 13:38

AB:AD=BC:CDはAB/AD=BC/CDという意味です。

両辺にAD/BCを掛けるとAB/BC=AD/CDを得ます。
これはAB:BC=AD:CDという意味です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました(^-^)

お礼日時：2010/12/28 18:32

No.3 回答者： tomokoich 回答日時： 2010/12/28 13:42

AB:AD=BC:CD

AB×CD=AD×BC
この後ですが
AB=(AD/CD)×BC
なので
AB：BC=(AD/CD)×BC:BC　（右辺をBCで割る）
=AD/CD:1　（右辺にCDをかける）
=AD:CD
とまわりくどく説明すればこうなりますが
具体的な数字だと(1)の部分はわかりやすいですよ

No.1 回答者： f272 回答日時： 2010/12/28 13:30

AB:BC=AD:CDとAB/BC=AD/CDとは全く同じ意味です。

一行前にあるAB・CD=AD・BCの両辺をBC・CDで割れば出てきますね。