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の中心からrの距離の圧力Pは
他の星の重力の影響がなく
万有引力定数がGであり
星の半径がR(>r)であり
理想液体の密度がρであるとき

=∫(r<x<R)・G・4・π・x^2・dx・ρ・4/3・π・r^3・ρ/x^2/(4・π・r^2)
=4/3・π・G・ρ^2・r・(R-r)
でしょうか?
これだと
星の中心の圧力は0であり
最も圧力の高いのはr=R/2の点であり
π・G・ρ^2・R^2/3になるのですが・・・

(2,3日前の計算では

=∫(r<x<R)・G・4・π・x^2・dx・ρ・4/3・π・x^3・ρ/x^2/(4・π・r^2)
=π・G・ρ^2・(R^4-r^4)/r^2/3
としていたので星の中心の圧力は∞だと思っていた。)

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A 回答 (14件中11~14件)

keyguyさんの過去の記録を拝見させていただきました。


けっして微分方程式の解き方で悩んでいるわけではないですよね?
>微分方程式の導出過程がわかりません。
とおっしゃっているのですし。

だとすると、分からないところはNo.2の回答の
>dp/dr=-G Mr ρ /r^2・・・*1
>dMr/dr=4πr^2 ρ・・・*2
>ρ=一定・・・*3

のところでしょうか?
*1は、万有引力の法則
万有引力は半径rの球殻の内部の物質のみに
依存することに注意
*2は、Mrの定義
*3は、状態方程式
ここでは非圧縮性を表現

あとは連立して解いて任意定数を
境界条件r=Rでp=0で決めるだけです。

この回答への補足

ありがとうございます。

3は質問の前提ですから問題ありません。
あえて問題にして欲しくなかったのです。
(誤解を招かないようにρ=一定と書こうとしていたが理想液体としているのだから重複するので止めました。)
1がわからないのです.
圧力を加算(積分)することは意味がないと思うのです。

補足日時:2003/10/23 14:27
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機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか?



>(4・π・x^2・dx×ρ)が
>x~x+dxの質量だから
>G×Mr×(4・π・x^2・dx×ρ)/r^2
>をr~Rで積分してrの面積4・π・r^2で割ればいいような気がします。

の式の意味を解釈してみましたが、
rの面積4・π・r^2というのは、実は積分の中に
はいっていないといけないようです。

この回答への補足

ありがとうござます。

機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか? :
微分方程式の導出過程がわかりません。
教えてください。

下にも書きましたが
G×Mr×(4・π・x^2・dx×ρ)/r^2

G×Mr×(4・π・x^2・dx×ρ)/x^2
の書き間違いで質問の式はこの点では間違っていません。

4・π・r^2を4・π・x^2にするというのは
圧力を足し合わせるということで意味のない足し算ではないでしょうか?
すべての力の総和を問題にしている場所の面積4・π・r^2でわるというのではだめなのでしょうか?

補足日時:2003/10/22 20:33
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間違えました。


dp/dr=-G Mr ρ /r^2
dMr/dr=4πr^2 ρ
ρ=一定
Mrはr以下の星の質量で、
Mr=4/3*π*r^3 ρ
代入して
dp/dr=-G 4/3*π*r ρ^2
まではいいと思いますが、
これを、r=Rでp=0とするような境界条件の下で
一階の微分方程式として解いた方がよいと思います。

この回答への補足

ありがとうございます。

Mrとその外側のx~x+dxの質量による引力の和
つまりx~x+dxをMrが引っ張る力はr~xを押しつぶす力になるからそれをr~Rの範囲で積分すればいいような気がします。
そうだとすると(4・π・x^2・dx×ρ)が
x~x+dxの質量だから
G×Mr×(4・π・x^2・dx×ρ)/r^2
をr~Rで積分してrの面積4・π・r^2で割ればいいような気がします。
それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。

補足日時:2003/10/22 18:07
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この回答へのお礼

書き間違えました。

Mrとその外側のx~x+dxの質量による引力の和
つまりx~x+dxをMrが引っ張る力はr~xを押しつぶす力になるからそれをr~Rの範囲で積分すればいいような気がします。
そうだとすると(4・π・x^2・dx×ρ)が
x~x+dxの質量だから
G×Mr×(4・π・x^2・dx×ρ)/x^2
をr~Rで積分してrの面積4・π・r^2で割ればいいような気がします。
それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。

です。

お礼日時:2003/10/22 20:29

積分範囲がr<x<Rなのはなぜですか?


常識的に言って0<x<rだと思いますが。

この回答への補足

ありがとうございます。

積分範囲が0~rとするとr=Rとすると
P=4・π・G・ρ^2・R^2/3
となり星の表面で圧力が0でなくなります。

補足日時:2003/10/22 15:02
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