無大気密度一様な理想液体の球形星

の中心からｒの距離の圧力Ｐは
他の星の重力の影響がなく
万有引力定数がＧであり
星の半径がＲ（＞ｒ）であり
理想液体の密度がρであるとき
Ｐ
＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｒ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２）
＝４／３・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ・（Ｒ－ｒ）
でしょうか？
これだと
星の中心の圧力は０であり
最も圧力の高いのはｒ＝Ｒ／２の点であり
π・Ｇ・ρ＾２・Ｒ＾２／３になるのですが・・・

（２，３日前の計算では
Ｐ
＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｘ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２）
＝π・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾４－ｒ＾４）／ｒ＾２／３
としていたので星の中心の圧力は∞だと思っていた。）

No.4 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 23:31

keyguyさんの過去の記録を拝見させていただきました。

けっして微分方程式の解き方で悩んでいるわけではないですよね？
>微分方程式の導出過程がわかりません。
とおっしゃっているのですし。

だとすると、分からないところはNo.2の回答の
>dp/dr=-G Mr ρ /r^2・・・*1
>dMr/dr=4πr^2 ρ・・・*2
>ρ=一定・・・*3

のところでしょうか？
*1は、万有引力の法則
万有引力は半径rの球殻の内部の物質のみに
依存することに注意
*2は、Mrの定義
*3は、状態方程式
ここでは非圧縮性を表現

あとは連立して解いて任意定数を
境界条件r=Rでp=0で決めるだけです。

この回答への補足

ありがとうございます。

３は質問の前提ですから問題ありません。
あえて問題にして欲しくなかったのです。
（誤解を招かないようにρ＝一定と書こうとしていたが理想液体としているのだから重複するので止めました。）
１がわからないのです．
圧力を加算（積分）することは意味がないと思うのです。

補足日時：2003/10/23 14:27

No.3 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 19:56

機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか?

>（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が
>ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから
>Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２
>をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。

の式の意味を解釈してみましたが、
ｒの面積４・π・ｒ＾２というのは、実は積分の中に
はいっていないといけないようです。

この回答への補足

ありがとうござます。

機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか? ：
微分方程式の導出過程がわかりません。
教えてください。

下にも書きましたが
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２
は
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｘ＾２
の書き間違いで質問の式はこの点では間違っていません。

４・π・ｒ＾２を４・π・ｘ＾２にするというのは
圧力を足し合わせるということで意味のない足し算ではないでしょうか？
すべての力の総和を問題にしている場所の面積４・π・ｒ＾２でわるというのではだめなのでしょうか？

補足日時：2003/10/22 20:33

No.2 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 17:11

間違えました。

dp/dr=-G Mr ρ /r^2
dMr/dr=4πr^2 ρ
ρ=一定
Mrはr以下の星の質量で、
Mr=4/3*π*r^3 ρ
代入して
dp/dr=-G 4/3*π*r ρ^2
まではいいと思いますが、
これを、r=Rでp=0とするような境界条件の下で
一階の微分方程式として解いた方がよいと思います。

この回答への補足

ありがとうございます。

Ｍｒとその外側のｘ～ｘ＋ｄｘの質量による引力の和
つまりｘ～ｘ＋ｄｘをＭｒが引っ張る力はｒ～ｘを押しつぶす力になるからそれをｒ～Ｒの範囲で積分すればいいような気がします。
そうだとすると（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が
ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２
をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。
それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。

補足日時：2003/10/22 18:07

この回答へのお礼

書き間違えました。

Ｍｒとその外側のｘ～ｘ＋ｄｘの質量による引力の和
つまりｘ～ｘ＋ｄｘをＭｒが引っ張る力はｒ～ｘを押しつぶす力になるからそれをｒ～Ｒの範囲で積分すればいいような気がします。
そうだとすると（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が
ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｘ＾２
をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。
それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。

です。

お礼日時：2003/10/22 20:29

No.1 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 14:36

積分範囲がｒ＜ｘ＜Ｒなのはなぜですか?

常識的に言って0＜ｘ＜rだと思いますが。

この回答への補足

ありがとうございます。

積分範囲が０～ｒとするとｒ＝Ｒとすると
Ｐ＝４・π・Ｇ・ρ＾２・Ｒ＾２／３
となり星の表面で圧力が０でなくなります。

補足日時：2003/10/22 15:02