無大気密度一様な理想液体の球形星

の中心からｒの距離の圧力Ｐは
他の星の重力の影響がなく
万有引力定数がＧであり
星の半径がＲ（＞ｒ）であり
理想液体の密度がρであるとき
Ｐ
＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｒ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２）
＝４／３・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ・（Ｒ－ｒ）
でしょうか？
これだと
星の中心の圧力は０であり
最も圧力の高いのはｒ＝Ｒ／２の点であり
π・Ｇ・ρ＾２・Ｒ＾２／３になるのですが・・・

（２，３日前の計算では
Ｐ
＝∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）・Ｇ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ・４／３・π・ｘ＾３・ρ／ｘ＾２／（４・π・ｒ＾２）
＝π・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾４－ｒ＾４）／ｒ＾２／３
としていたので星の中心の圧力は∞だと思っていた。）

No.1 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 14:36

積分範囲がｒ＜ｘ＜Ｒなのはなぜですか?

常識的に言って0＜ｘ＜rだと思いますが。

この回答への補足

ありがとうございます。

積分範囲が０～ｒとするとｒ＝Ｒとすると
Ｐ＝４・π・Ｇ・ρ＾２・Ｒ＾２／３
となり星の表面で圧力が０でなくなります。

補足日時：2003/10/22 15:02

No.2 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 17:11

間違えました。

dp/dr=-G Mr ρ /r^2
dMr/dr=4πr^2 ρ
ρ=一定
Mrはr以下の星の質量で、
Mr=4/3*π*r^3 ρ
代入して
dp/dr=-G 4/3*π*r ρ^2
まではいいと思いますが、
これを、r=Rでp=0とするような境界条件の下で
一階の微分方程式として解いた方がよいと思います。

この回答への補足

ありがとうございます。

Ｍｒとその外側のｘ～ｘ＋ｄｘの質量による引力の和
つまりｘ～ｘ＋ｄｘをＭｒが引っ張る力はｒ～ｘを押しつぶす力になるからそれをｒ～Ｒの範囲で積分すればいいような気がします。
そうだとすると（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が
ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２
をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。
それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。

補足日時：2003/10/22 18:07

この回答へのお礼

書き間違えました。

Ｍｒとその外側のｘ～ｘ＋ｄｘの質量による引力の和
つまりｘ～ｘ＋ｄｘをＭｒが引っ張る力はｒ～ｘを押しつぶす力になるからそれをｒ～Ｒの範囲で積分すればいいような気がします。
そうだとすると（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が
ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｘ＾２
をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。
それを計算した結果が質問に提示してある値なのですが。

です。

お礼日時：2003/10/22 20:29

No.3 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 19:56

機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか?

>（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）が
>ｘ～ｘ＋ｄｘの質量だから
>Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２
>をｒ～Ｒで積分してｒの面積４・π・ｒ＾２で割ればいいような気がします。

の式の意味を解釈してみましたが、
ｒの面積４・π・ｒ＾２というのは、実は積分の中に
はいっていないといけないようです。

この回答への補足

ありがとうござます。

機械的に微分方程式を解くってのはだめなんでしょうか? ：
微分方程式の導出過程がわかりません。
教えてください。

下にも書きましたが
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｒ＾２
は
Ｇ×Ｍｒ×（４・π・ｘ＾２・ｄｘ×ρ）／ｘ＾２
の書き間違いで質問の式はこの点では間違っていません。

４・π・ｒ＾２を４・π・ｘ＾２にするというのは
圧力を足し合わせるということで意味のない足し算ではないでしょうか？
すべての力の総和を問題にしている場所の面積４・π・ｒ＾２でわるというのではだめなのでしょうか？

補足日時：2003/10/22 20:33

No.4 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/22 23:31

keyguyさんの過去の記録を拝見させていただきました。

けっして微分方程式の解き方で悩んでいるわけではないですよね？
>微分方程式の導出過程がわかりません。
とおっしゃっているのですし。

だとすると、分からないところはNo.2の回答の
>dp/dr=-G Mr ρ /r^2・・・*1
>dMr/dr=4πr^2 ρ・・・*2
>ρ=一定・・・*3

のところでしょうか？
*1は、万有引力の法則
万有引力は半径rの球殻の内部の物質のみに
依存することに注意
*2は、Mrの定義
*3は、状態方程式
ここでは非圧縮性を表現

あとは連立して解いて任意定数を
境界条件r=Rでp=0で決めるだけです。

この回答への補足

ありがとうございます。

３は質問の前提ですから問題ありません。
あえて問題にして欲しくなかったのです。
（誤解を招かないようにρ＝一定と書こうとしていたが理想液体としているのだから重複するので止めました。）
１がわからないのです．
圧力を加算（積分）することは意味がないと思うのです。

補足日時：2003/10/23 14:27

No.5 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/23 17:13

半径r内の球殻の体積をVrとしますと、

Vr=4*πr^3/3
ゆえに、dV=4πr^2dr
したがって、万有引力FをVrで微分すると
dF/dVr=dF/(4πr^2dr)=圧力を半径で微分したもの…*

さて、万有引力の法則から
F=-GMr m/r^2
mは微小体積要素の質量でρdVとすれば
体積要素にかかる力=dF=-GMr ρ dV /r^2
これと*から、dp/dr=-GMr ρ/r^2を得ます。

この回答への補足

ありがとうございます。

２を敢えて言及しなかったのは定義を微分する必要があるのか疑問だったからです。
定義のＭｒをそのまま１に代入すればいいはずで私には意味不明だったからです。
圧力の加算は意味が無いので
ｄＦ＝Ｇ・Ｍｘ・ρ・４・π・ｘ＾２・ｄｘ・ρ／ｘ＾２
のところまでは理解できます。というより
これをｒからＲまで積分したものが質問の（）内の結果です。
しかしこれは
水に浮かんだ船を岸から引いていて
船上では２人が互いに紐を引き合っているとすると
岸側の人が引いている力を船上で岸側に引いている人の力と合わせて足していることになるので
余計な力を含んでいるので間違っていると思ったのです。
そこでこの力を排除して（岸から引いている人の力だけを考慮して）計算したのが質問の式です。

補足日時：2003/10/23 18:51

No.6 回答者： tgb 回答日時： 2003/10/23 19:49

密度一様な（＝ρ）球の内部の１点で受ける力（万有引力）は位置によらず一定の大きさで、方向は中心向きだと思います。

これを使って以下のように計算できるのではないでしょうか。

半径Ｒの球の表面の任意の位置に微少な円（面積ｄＳ）を考えます。この円と球の中心Ｏを結ぶ円錐を考え、この円錐に対し、球の中心Ｏからｒおよびｒ＋ｄｒ
の位置で微少の円錐台を切り取って、この円錐台に作用する力の釣り合いを考えます。
円錐台は内側の面（球の中心からｒ）から圧力ｐ、外側の面（ｒ＋ｄｒの位置）からｐ＋ｄｐの圧力を受けるものとします。また、万有引力としてこの円錐台は周囲の液体から中心向きの力を受けます。円錐台の側面からの圧力も存在しますが、これは対称性により相殺し円錐台の釣り合いに影響しないので考慮から除外することができます。
中心方向の力を＋として、
内側面からの圧力の合力：
－ｐ・（ｄＳ・ｒ／Ｒ）
外側面からの圧力の合力：
（ｐ＋ｄｐ）・（ｄＳ・（ｒ＋ｄｒ）／Ｒ）
円錐台が受ける万有引力：
Ｇ・ρ^2・（４／３）・πＲ・ｄＳｄｒ
　ただし、
　　単位質量あたりの力：
　　　Ｇ・ρ・（４πＲ^3／３）／ｒ^2
　　円錐台の質量：
　　　ρ・ｄＳ・Ｒ／３・｛（（ｒ＋ｄｒ）／Ｒ）^3－（ｒ／Ｒ）^3 ｝
　　　＝ρ・ｄＳ・（ｒ／Ｒ）^2・ｄｒ
３つの力が釣り合うことから、
（ｐｄｒ＋ｒｄｐ）／Ｒ＋（４／３）Ｇρ^2πＲｄｒ＝０
ｒ＝Ｒでｐ＝０の境界条件を与えてこの微分方程式を解けば圧力が得られます。
実際に解いていないので明確には言えませんが、圧力分布としては表面から中心に向かって大きくなりそうな感じです。（常識的にもそうなると思いますが）
中心でｐそのものの値が無限大になるかどうかは分かりませんが、dp/drは∞になりそうです。

※微分方程式を導く時の基本的な考え方は、微少部分の液体に着目したとき、重力（万有引力）が作用していて、この微少部分が動かないように周囲の圧力が生じ、微少部分に作用する合力としては釣り合うと言う条件を表すよう記述すると言うことだと思います。重力は陽な形で与えられて、液体が静止しているとするなら、当然この重力によって動き出すことのないような圧力が働く（付加される）ことになります。圧力分布はそうなるように決まると言うことになります。

この回答への補足

ありがとうございます。

密度一様な（＝ρ）球の内部の１点で受ける力（万有引力）は位置によらず一定の大きさで、方向は中心向きだと思います。：

これはどういう意味でしょうか？
中心からｒの位置に有る質点は
Ｇ・４／３・π・ｒ＾３・ρ／ｒ＾２＝
Ｇ・４／３・π・ρ・ｒの中心に向かう重力すなわち
もし質点の質量がｍのときには
Ｇ・４／３・π・ρ・ｒ・ｍの中心に向かう力を受けるのではないでしょうか？
クーロンの法則とガウスの定理によるＥから類推されますがまじめに計算してもそうなります。

前記文章に対する私の解釈が間違っているかもしれないので真意を教えてください。

補足日時：2003/10/23 21:56

この回答へのお礼

しかし他の部分の考え方はリーズナブルな気がします。
方程式は
結局
ｄｐ／ｄｒ＋２・ｐ／ｒ＋４・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ／３＝０
では？

お礼日時：2003/10/23 23:39

No.7 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/24 00:25

丁寧な回答ですねえ>No.6さん

>中心でｐそのものの値が無限大になるかどうかは
>分かりませんが、dp/drは∞になりそうです。

それは物理的におかしいでしょう。
dp/dr(r=0)=0でないと原点でとがった点が出てきてしまいます。
ブラックホールなどならともかく、構造を持った星のモデルなら
それはモデルがおかしい可能性があります。

それはおいといて：

>２を敢えて言及しなかったのは定義を微分する必要が
>あるのか疑問だったからです。

通常は微分しておいたほうが便利です。
ここではρは一定なのでどうでもいいですが、
一般にはrに依存し、Mrが積分になってしまって
解きにくくなります。
また、星の構造理論ではrの代わりにMrを独立変数に取るので、
dMr=4πr^2 ρ dr
のように微分形式で変換できるように書いておいたほうが無難です。
それと、

>圧力の加算は意味が無いので

圧力の加算ではなくて、
圧力の差の加算なので、圧力になります。

この回答への補足

非の打ち所のないtgbさんの考え方により
ｄｐ／ｄｒ＋２・ｐ／ｒ＋４・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ／３＝０
は疑いようのない方程式のようですね。
両辺にｒ＾２を掛けると
ｄ（ｐ・ｒ＾２）／ｄｒ＝－４／３・π・Ｇ・ρ＾２・ｒ＾３・・・（＊）
これは
ｄ（ｐ・４・π・ｒ＾２）＝
－Ｇ・（４／３・π・ｒ＾３・ρ）・（４・π・ｒ＾２・ｄｒ・ρ）／ｒ＾２
となるではないですか？
つまり
私の当初の考え方の（）内は正しかったのです。
船は邪念でしたね。

（＊）の両辺をｒからＲまで積分すれば私の当初の考え方通り

ｐ＝π／３・Ｇ・ρ＾２・（Ｒ＾４－ｒ＾４）／ｒ＾２

になります。
つまり中心の圧力は無限大で
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=684956
で散々批判を受けた私の考えは正しかったということになりますね。

tgbさんには感謝しても仕切れることはないと思います。
ibm111さんの考えは結局私の当初の私の考え方そのものだったんですね？

補足日時：2003/10/24 01:45

この回答へのお礼

船の邪念は正しいかもしれません。混乱してきました。
同じくtgbさんの考えを借用して

星表面に小さな面積Sの円を書きます。
中心と円を結ぶ円錐のうち中心からｒ以上の部分Ｗの力の釣り合いを考えます。

Ｗが外側から圧力によって中心に押しこまれる力は
0・S

Wが内側から圧力によって押し出される力は
p・S・(r/R)^2

Wに働く万有引力によってWが中心に押しこまれる力は
∫(r<x<R)・G・(S・(x/R)^2・dx・ρ)・(4/3・π・r^3・ρ)/x^2
=4・π・S・G・ρ^2・r^3・(R-r)/3/R^2

Wは動かないから押しこまれる力と押し出される力は等しいから
p・S・(r/R)^2=0・S+4・π・S・G・ρ^2・r^3・(R-r)/3/R^2

従って
P=4・π/3・G・ρ^2・r・(R-r)
となり（）内は間違いで質問に提示した式が正しくなるのです。

考えてみればスペースシャトルの中で浮かんでいる水の玉の中心の圧力が∞というのは恐るべき結論ですね。

お礼日時：2003/10/24 13:58

No.8 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/24 14:14

No.6さんの回答、丁寧だなあと思っただけで

実は真剣に読んでなかったのですが
なんか正しそうです。しかし。

典拠主義はあまり好きではないですが
自分で説明してきてわかんなくなってきたのでこちらをどうぞ。
http://grape.c.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/keisa …
２・ｐ／ｒなんていう補正項は出てこないようです。
なぜかはよく分からないです。

とりあえず、私の求めた圧力分布は、No.2の

>dp/dr=-G 4/3*π*r ρ^2

これを、r=Rでp=0とするような境界条件のもとで解くので、
p=2πG/3 * ρ^2 R^2 (1-r^2/R^2)
となって、直感的にありそうな解(発散無し、dp/dr(r=0)=0)になります。

参考URL：http://grape.c.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/keisa …

この回答への補足

ありがとうございました。

No.7のお礼を読んでください。
さらに非の打ち所の無い理論を展開できました。
これもtgbさんのおかげです。

しかしこれはパラドックスを呼び起こします。
非の打ち所の無いtgbさんの理論を
非の打ち所の無いtgbさんの理論が打ち砕くのです。

補足日時：2003/10/24 14:35

No.9 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/24 16:55

考えてみましたが、おそらくこういうことだろうと思われます。

粒子に対する運動方程式m d^2 x/dt^2=Fを流体に適用するには、
単位体積あたり質量と単位体積あたりにかかる力という概念が必要です。
そうすると、運動方程式は
ρ Dv/Dt=-▽p+重力項
となります。DはLagrange微分
今は、時間に依存しない場合を考えているので左辺は0で、
球対称を仮定、極座標をとれば、
dp/dr=重力
となるわけです。

ラプラシアンなら確かに2/rに比例するような項がでてくるんですけどね。
▽の場合には、曲率に影響されるような項は出てこないようです。

この回答への補足

パラドックスは解けました。
船の邪念はやはり間違っていたのです。
同じくtgbさんの考えを借用して

星表面に小さな面積Sの円を書きます。
中心と円を結ぶ円錐のうち中心からｒ以上の部分Ｗの力の釣り合いを考えます。

Ｗが外側から圧力によって中心に押しこまれる力は
0・S

Wが内側から圧力によって押し出される力は
p・S・(r/R)^2

ここまでは同じで次の万有引力が違うのです。

Wに働く万有引力によってWが中心に押しこまれる力は
∫(r<x<R)・G・(S・(x/R)^2・dx・ρ)・(4/3・π・x^3・ρ)/x^2
=π・S・G・ρ^2・(R^4-r^4)/3/R^2

どうして２番目の括弧内がr→xにすべきかというと
Sが十分小さいとしているから
S・(x/R)^2・dx・ρと4/3・π・r^3・ρの万有引力でなく
S・(x/R)^2・dx・ρと4/3・π・x^3・ρの万有引力にすべきです。
というのは4/3・π・x^3・ρはWの質量の一部を含んでいるがSが十分小さいのでその寄与分はほぼ０であるからです。
つまり船の綱引きの分は十分小さくほとんどは岸からの力の分なのです。
前者にすると4/3・π・r^3・ρ以外の回りの質量による影響が無視されているので大間違いですね。

Wは動かないから押しこまれる力と押し出される力は等しいから
p・S・(r/R)^2=0・S+π・S・G・ρ^2・(R^4-r^4)/3/R^2

従って
P=π/3・G・ρ^2・(R^4-r^4)/r^2

となり（）内は間違いで質問に提示した式が正しくなるのです。

この結果はｔｓｂさんの当初の考え方にも一致するので理論としては完璧です。

それにしてもスペースシャトルの中で浮かんでいる水の玉の中心の圧力が∞とは恐るべき結論ですね。
一度計ってみたいものですね。
大発見かもしれませんね。

補足日時：2003/10/24 17:31

この回答へのお礼

コピーで書いたので

この結果はｔｓｂさんの当初の考え方にも一致するので理論としては完璧です。

がついていました。
削除しなければなりません。

お礼日時：2003/10/24 17:37

No.10 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/10/24 18:28

>それにしてもスペースシャトルの中で

>浮かんでいる水の玉の中心の圧力が∞とは恐るべき結論ですね。

そんなわけないでしょうが。
ちゃんと私の文章読んでます？
水の玉の場合は、万有引力が効かないので
多少違うかもしれませんが。

理論が実験と一致しないときには理論を捨て去るべきです。

この回答への補足

そんなわけないでしょうが。：

たしかにそうです。
実際は圧力が無限大になる前に密度変化が起こり無限大を阻止するように自然の摂理が働くと思います。
しかしその傾向は出てくるので無限大は無理としてもかなり高くなるということが言えるのではないでしょうか？
その傾向を実証できればｔｇｂさんの理論は確固たるものになるのでしょうね。
ひまになれば密度変化を考慮した圧力変化を求めてみたいと思います。
その結果∞がどれだけ緩和されるかが確かめれることが期待されます。
縮まないとして理想化され勝ちの液体を現実の液体でやるとさまざまな要素を考慮しないといけないので理想気体でやるのが次の第一歩ですね。

補足日時：2003/10/24 18:30

この回答へのお礼

そんなわけないでしょうが。：

たしかにそうです。
実際は圧力が無限大になる前に密度変化が起こり無限大を阻止するように自然の摂理が働くと思います。
しかしその傾向は出てくるので無限大は無理としてもかなり高くなるということが言えるのではないでしょうか？
その傾向を実証できればｔｇｂさんの理論は確固たるものになるのでしょうね。
ひまになれば密度変化を考慮した圧力変化を求めてみたいと思います。
その結果∞がどれだけ緩和されるかが確かめれることが期待されます。
縮まないとして理想化され勝ちの液体を現実の液体でやるとさまざまな要素を考慮しないといけないので理想気体でやるのが次の第一歩ですね。

水の玉の場合は、万有引力が効かないので：
が気になります。
万有引力というのはすべての物質に対して作用するのではないでしょうか？
スペースシャトルだとコリオリの力やシャトルの引力も影響するかもしれないので十分に孤立している宇宙空間上の水玉を想定すればいいのではないでしょうか？

お礼日時：2003/10/24 18:50