さいころの確率の計算教えて!

二つのさいころを投げるとき、小さいほうの目をa、大きいほうの目をbとすると、
a分のbが整数となる確率って、どうやって出すんですか?

No.16 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/11/02 03:43

とりあえず、（４／９）で間違いない。

　＃ただし、ａ＝ｂ　を含まないときね。

これに文句はつけないよ。

サイコロ二つのときの考え方ね、場合の数だけど、

やはりちょっと怖いな。　危ない気がするよ。

悪いちょっとカマをかけたんだけど、図に挙げた例ね、

あれダメなんだよ。

　＃気がつかなかったか・・・。

高校の入試？　それならそれでいいかもしれないね。

本質は知って置いて損はないよ。

まずちょっと補足のほうね。

＞A1-B1, A1-B2.....のようなAから始まる組み合わせ36組と
＞B1-A1, B1-A2.....のようなBから始まる組み合わせ36個で
＞合計72通りとなると思いますが・・・。違いますか?

これ、違うよ。

これは、異なる二つのサイコロを（今Ａ、とＢとします）、

一つずつ投げるとき。　を考えています。

　＃Ａを先に投げるか、Ｂを先に投げるかの違いね。

一個ずつ投げるんじゃないね。同時に二つだね、問題では。

しかも区別がない。


３６通りというのは、６×６だね。　一個ずつ２回投げているのと同じだね。

ここいいかな？

いまは、同時に投げるでしょう二つ。

だから、後先がないのね。

（１，２）の目が出た。これは（２，１）の目が出たと同じだね。
　＃同時に二つ投げたときはね。


一個ずつ二回投げたときは、（１，２）と（２，１）は違うね。

　＃これは後先が違う。

　＃実は二回投げるということは、サイコロを区別しているのと同じなんだ。

ここの違いは難しいけど、どうせ将来きっちり叩き込まれるから、

今わかっておく必要もないけど、先に分かっておくほうがいいのだけどね。


区別のないさいころについて、一つずつ二回投げると、３６通り。

おなじく、二つを同時に投げると、１８通りとして構わない。

１８通りとして構わない理由は、（１，２）も（２，１）も一緒としていいから、ね。

これはちゃんとした絵を上げなおします。


う～ん、カマかけてすまなかったけど、ちょっと残念だな。

威勢がいいから、分かるかなと思ったんだけどな。

　＃これぐらい威勢がいい方がいいんだよ、迷惑かけない程度にね♪

若いときは反発するくらいでもいいんだよ♪


もしも　ａ＝ｂ　を含むときは、３個増えるから（３６通りとしていれば６個）、

（１１／１８）になるよ。　答えはこれで間違いないから。


１８通りとできますよの絵の中で、分かりにくいかもしれないけど、ゾロ目のところね。

半分に切ります。なので、（１／２）マス　と思ってください。

それが６個あるね。　だからゾロ目は３マス　と数えて構わない。

これを知っていれば他にも応用が利くから。


顔が見えないからね、相手がどう思うかというのは、常に

気を配っておいたほうがいい。

ここはやさしいからね、特に数学は。

余り行き過ぎないようにね。


場合の数や組み合わせは、どうもね、この頃学校でやらないみたいだね。

結構難しいんだ。冷静に数え上げたり、重複させないように、ね。


分からなかったら飛ばしていいよ。

どうせ後から出てくるだろうし、でてきたときに「なんだこれ？」と思うかもしれないけど。

冷静に一つずつね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

この回答へのお礼

なんだか頭がしびれてきました。

所詮、まる投げするレベルで数学頭じゃないんです。
英語のほうが向いていて・・・。
ちょっと柄にもなく難しい話に無理して付き合ってしまって
深みにはまっておぼれかけてるような・・・。
苦しくなってきました。

とりあえず高校入試レベルでは
16／36で、4／９でいいというお墨付きを
もらったので大満足です。


区別のないさいころ二つを同時に投げるときの
目の組み合わせが18通りでいいことは絵を見て理解できました。

中学の教科書では、6×6の表しかないから、
必ず36しかないと思っていましたが、
半分の18を分母に考える方法が
あったと分かったのは新鮮でした。

B-jugglerさんには本当にお世話になりました。
やさしく根気強いすばらしい先生ですね。
早く体を直して大学生に楽しい語り口で
数学の面白さを伝えてください。

本当にありがとうございました。
また、別の問題でお世話になるかな?
とにかく数学は苦手で・・・。

お元気で！

お礼日時：2011/11/02 23:53

No.30 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/11/04 21:35

同じく、どうでもいいこと。

私はゲーム理論というのを専門としています。

6Ｈ2　で　組み合わせを求めて計算するのは、

確率の総和が　１　を超えてしまうので、

受験数学で位しか使わない。　これも、私のような数学屋では常識。

これも書いておかないといけないのか・・・。


目の出方が何通りかは出せるけれど、

＞まぁ２１通りでそのまま確率計算するのは間違ってるけどね。

これが書いてあるので、ダイジョウブでしょう。


「区別のないサイコロを二つ同時に振る」　ということが本当に可能なのか？

そこまで考えて計算しているので、

　＃実際には、そういうサイコロは存在しませんね、
　＃同じサイコロが二つないといけないから。

　＃通常３６マスで計算しているのは、たぶん、これを見越してはないと思うんだけど。

一つのサイコロを二回投げて、後先を問わない。

と同値と見ないとおかしいし、現実にそぐわない。

　＃ゲーム理論なんかは、ＷＩＫＩで調べてもらっても構わないけど、
　＃すごく現実的だから。


＞１－１がでる確からしさと１－２がでる確からしさは同一ではないから、
＞そのままで確率を計算しちゃいけない。

ん？？　これはずっと言ってきているけど。

こういう風に簡単に言えって事ですかね。

分かりました。以後気をつけます。

２１通りとして計算してはならないことが、通用していればそれでいいです。

ゲーム理論屋からすればですがね。


　試しに、２～１２の目が出る確率をそのまま計算して、
　２１通りとして計算してみてください。　（１／２）　オーバーするんじゃなかったかな？

正直、　6Ｈ2　で　出すのが、間違いだと感じていることは確かです。

そう思うようになるには、ここまで登ってきてもらうしかない。

結局、最後は

＞「区別のないサイコロを二つ同時に振る」　ということが本当に可能なのか？

＞そこまで考えて計算しているので、

＞一つのサイコロを二回投げて、後先を問わない。　と　同値と考える。

ここにたどり着いているかの差でしかなくなります。


区別のないサイコロを二つ同時に振る事が、

大きさも形も同じ、出る目はそれぞれ（１／６）で片寄りはない２個のサイコロを

同時に投げることと同じかどうか？


これと、上記との差でしかないと。

私は上をとる。同じサイコロが二つ存在しないから。


もう辞めましょうや。

あなたは受験数学でしかなさそうだし、

わたしの言っていることは伝わっていない。

　＃これは、私のことば足らずもあるけど。ｍ（＿　＿）ｍ

３６通りで計算するのが一番問題ないんだろうな～。

確率的にも、区別のあるなしに関わらず、計算できるから。

結局こういう結論。　

区別なしなら、（１，２）が二つあるように、（１，１）も二つあるはずだから

随分下に図があるけど、ばっさり三角形に切る！　

今のところ、これをもって、私のやっているゲーム理論では正しいとしています。

　＃ゲーム理論入門でも見てみてください。
　＃たまにコラムのところで載っているから。

　＃チョウハン　ばくちで　チョウが不利　ということはない、なんてのが。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

結局ここは二つに分かれて、不毛な争いになるんだね～。

自然数に０を含むか、などと一緒。

大学と高校までの数学では差がでます。

No.29 回答者： andy_kun 回答日時： 2011/11/04 07:28

もうどうでもいいけど…。

＞よく見返してください、２１通りとしている根拠は尋ねたけど、
＞それが間違いだとは言ってないから。
本当か？
２１通りになる根拠は６個からか重複を許して２個選ぶ重複組み合わせだからって書いてるよね。
それに対して
＞重複組み合わせがでていますが、おそらく　6Ｈ2　だと思うんだけど、
＞そうはならないですね・・・。
こう言ってるよね。
それからサイコロに区別が無いから１８通りになるとも断言してるよね。
いまさら１８通りとして計算ができると言いだすわけね。

まぁ２１通りでそのまま確率計算するのは間違ってるけどね。
１－１がでる確からしさと１－２がでる確からしさは同一ではないから、そのままで確率を計算しちゃいけない。
自称数学者さんからこう言った答えが出ると思ったんだけど違ったね。

No.28 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/11/04 07:05

質問者さんの聞いてあることと関係ないので。

やっと分かった何が言いたいのか。はぁ～、う～ん。

6Ｈ2　なんだ。これか！　うん、

だから、出る目の数　は　２１組　で間違いない。

私がやっていたのは、３６通りの数え方は半分に切って　１８通りにできますよ！

ということ。

だから最初からの主張が違った。

３６枡で行くと、偶数は　１／２　で構わない。

ぞろ目の数え方で、ハンよりも　チョウ　のほうが若干有利ですよ。

（４／７）　だから。


この考え方の違い。

私は、１－１　は　目の出方が一つしかない　のに

後先がある場合を考えて、（１／２）　とできる場合を示した。

　これは　（１，２）　と（２，１）を同じとするのと同じこと。


あなたは、　１－１　はあくまで、目の出方の一つでしかない、

これはこれで正しい。

ただ、この問題でダイジョウブかどうかといわれると？

そこは分かるでしょう。


数学屋なりに、如何に簡単に、問題と向き合うか。

どうすれば分かりやすい答えを導き出せるか、を質問者さんに提案する。

これだけでしかない。


２１通りも正しい。３６通りも正しい、この場合は１８通りでもいい。

ただ、この問題では、２１通りにしておくと、ぞろ目がＯＫのときダイジョウブか？

これが絡みますよ。


そういうところも踏まえてくださいね。


３６通り　は　場合によっては半分の１８通りと捉えて構わない。

これを認めないのでしたらそれで結構。

３６通りで、そのままやってください。

２１通りでやると、おかしなことになるかもしれないですよ。

　と、本職から忠告だけ。

何が違うかはもうお分かりでしょう？


私は、単に３６通りを簡略化しただけ。


１－１が二回出る。でも目の出方は一つ。　

だからとりあえず（１／２）とでもしておこうか。

１－２　と　２－１　が同じとしているから。

という風に　３６マスを１８マスに斜めにばっさり切っただけ。


このほうがこの場合楽だったから。

１８通りではなく、１８マスね。　ようやくスッキリした。

最初からこう書いておけばよかったかな。

　それならそれで同じ突っ込みが来るんだろうなぁ～。


よく見返してください、２１通りとしている根拠は尋ねたけど、

それが間違いだとは言ってないから。

１８通りの中にぞろ目があるけど、マス目が半分なだけで、

実際には２１通りが出てる。　＃当然気がついてますよね。

　＃私は気がついていたから、二回カウントされているから半分にしておくと
　＃ずっと書いてきたんですから。

この問題で大事なのは、確率で、目の出方を間違うと、確率も間違います。

どっちが大事かに絞る。

それも見えませんか？

だったらいいです。質問者さんに理解してもらっている時点でこの問題は終わっていますから。

少なくとも、私の中ではね。


さっき　サイコロ三個の区別なしで目の出方、という問題が上がっていたのを思い出し、

6Ｈ3　で解決してあったのを思い出したので、

あ～こういうことか～と納得しました。

これはあくまでも目の出方。

確率の話とはまた別です。

１－１－１　が出るのは　（１／２１６）でしかなく、

（１／　6Ｈ3）　ではないですね。


性分でしてね、どうしても何故かが気になる。


やっていることが違う。これだけの話し。

三角形にきった図を見てください。

１－１　～　６－６　は　半分ですが、ちゃんと載っています。

一つと数えれば２１通り。　

　（この場合は　６×６　の３６マスを斜めに切っているので、三角形になっていますがね）

最初から違う話をしているからかみ合わない。それだけ。


質問者さん、私が言ったことは、あくまで３６マスの簡略ですからね。

「目の出方」の合計は考慮していませんよ。　目が１８通りだと思わないで下さいね。

　＃当然数えれば分かりますが。

分母は、「目の出方では在りませんよ」。全事象という奴で、起こりうること。

この場合は３６通りですからね～。　（簡略化すれば１８通り）。

真面目にやっているのが馬鹿みたいに思えてきましたよ・・・。

ｍ（＿　＿）ｍ

No.27 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/11/04 02:59

二通りあるのに、一つしかないでしょう？　

１－１などのぞろ目は。図中に。

だから半分としておきますよって事です。

図を上げてるでしょう？

あれでおしまい。ぞろ目は（１／２）とみなします。

とかいてるでしょう？

そんなに気になって、おかしいと思うのなら質問上げて下さいよ。

私は、ここまで説明したんですから知りませんよ

１８通り　上げるのなら、

１－１　～　６－６　までの　６通り　は　それぞれ　（１／２）とみなす。

残りは１５通り。

これ以上でも以下でもありませんって。


数学を知りたいと思われないのなら、３６枡で計算されてください。


そうまでして認めたくない理由が分からない。

３６ますを斜め半分で切ってはいけないんですか？


２１通りは６の倍数でないですが、それも構わないんですか？


こっちの疑問に答えず、揚げ足取ってばかりなら、付き合いきれません。

No.26 回答者： andy_kun 回答日時： 2011/11/04 00:33

頭大丈夫？＞＃２５

どうしても18通りだと主張するならその18通りをすべて書き出してください。
18通りだけ書き出せるならあなたの主張を認めるよ。

＞私が、どのような形で、いつ　「ぞろ目が　１２通り」といいましたか？
その前に
＞両方とも、１、１　なんです。だから二回数えてあります。
って書いてるでしょ。
＞＃１－１　は２通りあると考えますからその半分で（１／２）
１－１は２通りあると考えるっても書いてるよね。
まぁその半分なのに１／２って意味不明だけどね。
２回数えたら１２通りじゃないの？

それからサイコロの区別がつかなければ偶数が出る確率は当然４／７だね。

No.25 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/11/03 21:30

すみません、だいぶ頭にきているようで＞＜

いけません、冷静にならないと。

＞＞つまりは、１－２　と　２－１　は同じでしょう？
＞＞これと一緒なんです。
＞＞両方とも、１、１　なんです。だから二回数えてあります。

＞あなたの説明でいけば、ぞろ目は12通りあることになり半分にしたら6通りだよね。
＞だったらぞろ目以外が15通りとぞろ目が6通りで21通りだろ。違うかい？

＞＞　この部分が　私の書いたところ。

＞　こっちが　２１通りとされている主張です。

私が、どのような形で、いつ　「ぞろ目が　１２通り」といいましたか？

ぞろ目は６通りしかありませんよね、通常のサイコロなら。
　＃６面立方体の。

もしかすると、　一回ずつ投げるときに、１がでて、次にも１がでた。

これが二回あると勘違いされているのかな？

サイコロに区別はありませんから、後に投げても先に投げても

１が二回出ていることに変わりはありませんよ。

　＃ピンゾロ（いわゆる）は見た目一回しか出ていないですよ。
　＃だけど実は、二回出ていることになりはしないか？と考えただけ。
　＃後先を問いませんから（直後にもう一回書くけど）。

そこで、１－１　は　１－２、２－１　を考えると、

２回分数えているのではないか？　

３６マスを斜めにばっさり切り落としてみたら、三角形で一マスにならない。

　（１／２）マス　にしかならない。　

たったこれだけの話しなんですが。

まぁいいや、３６マスでやってください。

それか質問してみてください。１８通りでいいのか悪いのかを。


ところで、サイコロに区別はないんですよね？

もしかしてあるということで話が進んでいます？

区別があるのなら、３６通りで計算をしないといけませんよ！

　＃２１通りなんて考えを持ち出してはいけませんし、
　＃１８通りもこの場合はダイジョウブですが、
　＃分母をどっちにする、というのが決まっていたら、ダメです。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

こういう性分でしてね、損ばかりしてますよ＾＾；

　そこを買われる事が多かったのですけどね。

　ほんとだったら黙って、試験で落とせばいい＞＜

No.24 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/11/03 21:11

すみませんが、あなたは数学をやってある方なのでしょうか？

さいころの目の出方は　一つにつき６通り。

２１通り　は　６通りの倍数でもありませんよ？

申し上げているとおり、ぞろ目は　１が２個出ている、

一回ずつの試行なら、先に１、後に１　が二回出ていることになる。

くどいようですが、今回のようなケースでは、

一マス　ではなく　（１／２）マス　と数え上げるのが数学です。

　＃１－１　は２通りあると考えますからその半分で（１／２）

ぞろ目は３通り　ではなく、計算上そうなるということだけ。

三角形が６つあるから、（１／２）×６　で　、それ以上でも以下でもありません。


２１通りにしたときの、出た目が偶数になる確率も上げてなくていらっしゃらず、

こちらばかりに、おっしゃるのは、非常に不愉快です。

　＃病人とはいえ、ゲーム理論や、代数系学が専門の数学屋ですから。

こういう組み合わせもあるよと紹介しただけ。

それが気に喰わないのなら、３６通りでやってください。



ご自身だけが正しいという考え方は、極力捨てたほうがいいのでは？


私もそうですよ、毎回そう。そのつど考えて、理解してもらえたら嬉しい

こういう風に考えてやっているんです。


間違えは認めますよ、当然ね。しかしこれは間違っていません。

どうぞ別の質問でも上げてみてください。

他の本職さんが答えてくださるか、無視されるかのどちらかですから。


こういうところにも受験数学の弊害が出ているんですね。


＞質問者さん

区別のないサイコロを２つ同時に投げること

と

同じサイコロを二回投げて「どっちの目が先に出た」を考えない。　

とすること事は、

同じことです。

ただこの場合は、ぞろ目に注意が必要ってだけです。

　＃１８通りで行くのならね～。３６通りで行くのなら何も考えなくていいのですが。

不愉快なので私は引っ込みます。どっちが正しいかなんて事は、

本職から見れば一目なのでね＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)


おそらく、２１通りあるといわれるのですから、偶数になるのは

１２通りになるのかな？　では奇数は　（２１－１２）＝９とおりでないとおかしいけど

そうじゃないから、１８通りが間違いとしてあるんでしょうかね。

　これだったら３６通りの普通の計算で数え上げれば一発なんですがねぇ～。

　ついでに　斜めでばっさり切り落としてみると、同じ結果になることも～～。

　何故ぞろ目が（１／２）なのかも、すぐ見当がつくはずなんですが・・・。

受験数学の弊害とはとかく恐ろしい・・・。

この回答へのお礼

＞質問者さん　 区別のないサイコロを２つ同時に投げることと・・・

の後からは大変よく分かります。
（その前の部分はイマイチ難しすぎる・・・）

組み合わせの表を斜め半分に切ると
正方形の部分が15マス、半分の三角形の部分が
6マスあるから、三角形の部分（ぞろ目）は1/2×6=3マスとなる。

で、組み合わせは18通りである、と。
これはよく理解できます。

あと、2個のさいころを同時に投げる場合と、
1個のさいころを2回続けて投げる場合の目の出方は同じである、と。
これも了解です。

数学のことをこれだけ一生懸命考えたのは
初めてですよ!

これはB-jugglerさんを初め、andy kunさんたちのお陰です。
本当に「教えて！goo」の素晴しさを今回感じましたよ。

ですから、ここは質問者が大喜び、大満足しているということで、
大団円で仲良くまあるくお開きにしませんか?

きっとこのQ&Aは多くの学生たちの参考と刺激になると思います。
いやあ、面白かったですよ!

本当にありがとう!

お礼日時：2011/11/03 21:45

No.23 回答者： andy_kun 回答日時： 2011/11/03 19:57

本当に数学をやっている人？＞＃２１

勉強しなおした方が良いんじゃないの！
18通りなんてありえないから！
＞つまりは、１－２　と　２－１　は同じでしょう？
＞これと一緒なんです。
＞両方とも、１、１　なんです。だから二回数えてあります。
あなたの説明でいけば、ぞろ目は12通りあることになり半分にしたら6通りだよね。
だったらぞろ目以外が15通りとぞろ目が6通りで21通りだろ。違うかい？
ぞろ目を3通りとして数えるってどんな理論？

受験で出るような数学の問題なら前にも書いたように暗黙で2つの前提がされているから目の組み合わせは36通りで確率は4/9で合ってるよ＞質問者

この回答へのお礼

例えば、姿かたちが全く同じさいころを2個振って、
1回ごとに2個のさいころを写真に撮って、
何十回も振ってすべての組み合わせを撮った頃
同じ目のペアが映った写真を除けて行くと、

確かにandy kunさんのおっしゃるように

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-3 3-4 3-5 3-6
4-4 4-5 4-6
5-5 5-6
6-6

の目が映った写真21枚が残りますよね。
ですから、「2個のさいころの目の組み合わせは何通りある」
という問には答えが二つあって、純粋に2数の組み合わせということなら
21通りといえるわけですかね？

しかし、確率の計算をするときには18通り、または36通り
という考え方でないと具合が悪いと・・・。

というアナログ発想の理解でいいんですかね？？

お礼日時：2011/11/03 21:19

No.22 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/11/03 15:54

連投ごめんなさい、ちょっと追加。

サイコロＡ、サイコロＢ　としたのは、

区別があるサイコロを２個同時に振ると、７２通りになるといわれたので、

それは違いますよ、というときに使っただけです。

同じサイコロを二回振るのなら、後先だけですから、

前述のとおり、１８通りで構いません。

　＃後先を考えない、同時に二つ振るのなら、ね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)