数列の収束について

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質問者：shou1991
質問日時：2011/11/21 07:15
回答数：2件

漸化式
b_n+1 = 2b_n/3 + b/3(b_n)^2 (ただし、b_0=ｂ)
の数列がどんな値に収束するか予測を立てて、その予測が正しいことを証明せよ。
という問題なのですが、どなたか教えていただけますか？

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No.2

回答者： alice_44
回答日時：2011/11/21 15:05

b_(n+1) = (2 b_n)/3 + (b/3)(b_n)^2

だとすれば、
b≦0 のとき 0 へ収束
b＞0 のとき +∞ へ発散。

もしや
b_(n+1) = (2 b_n)/3 + b/(3 (b_n)^2 )
だとすれば、
b=0 のとき 0 へ収束
b≠0 のとき b^(1/3) へ収束します。

いづれにせよ、問題に誘導のあるとおり、
β = lim[n→∞] b_n が収束する場合を仮定して、
β = 2β/3 + b/3β^2 を β の方程式として解けばよいです。
収束するかどうかは別として、収束するとすれば
極限はその解以外にはありえません。

後は、収束性の検討になりますね。
0 への収束は少し扱い易いので、
数列 (b_n - β) の極限を考えればよいのです。