(a^2+4)/aの新種の式変形

a>0のとき、(a^2+4)/aの最小値は？

解法１
相加相乗平均の関係
(a^2+4)/a = a + 4/a ≧ 2√a*(4/a) = 4
(等号成立はa=2)

解法2
判別式
(a^2+4)/a = k とおくと、
a^2 - ka + 4 = 0 がa>0の解を持つ
判別式≧0　かつ　k>0
k≧4

解法3
微分してグラフをかく

新種の式変形
(a^2+4)/a = 4 + (a-2)^2/a
と変形し、第二項の分母正、分子0以上なので、最小値は4

こういった新種の式変形は他では見たことがありません。
解法1、2、3は名前があるように応用が豊富ですが、新種の式変形の応用があれば教えてください。

また、a>0のとき、(a^2+4)/aの最小値を求めるためのさらなる別解があれば教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2011/12/26 08:03

「新種の式変形」というわけではありません。

相加平均・相乗平均がなぜ成り立つかという証明は習っているはずですね。
その時には平方完成をやっていたはずです。

ａ＋ｂ≧２√(ａｂ)
ａ－２√(ａｂ)＋ｂ≧０
(√ａー√ｂ)^2≧０

これを使って
ａ＋ｂ＝ａ＋ｂ－２√(ａｂ)＋２√(ａｂ)＝(√ａ－√ｂ)^2＋２√(ａｂ)≧２√(ａｂ)
とします。
この一行の中に「相加平均≧相乗平均」も「新種の式変形」も含まれていますね。
おなじものなのです。

＃１の「平方完成ですね」という回答に「感想を聞きたいのではない」と答えていますね。
見かけが異なれば別のものだとしてパターン分けをやっているように思います。
そのパターンの出てきた道筋をたどることもやって見られるといいと思います。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2011/12/25 23:48

実質は平方完成ですね。

この回答への補足

あのう、感想でなく、僕の質問に答えていただきたいと思うのですが。

補足日時：2011/12/26 00:41