６個の缶の周りをひもでくくるとき、最短の長さ

1個２個３個と並べて周りをくくったり、2列に３個ずつ並べて周りをくくっても、その周囲の長さは、半径をRとして、12R+2πRとなります。
しかし、最短は、２列に３個ずつ並べさらに、中央の２個を上部にずらして中央の缶が残りの５個にすべて接するように並べた時で、その長さは（8+2√3）Ｒ＋２Ｒとなるようです。
その証明の方法を、伝授してください。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2012/04/20 05:05

最短を示すのはちょっとやっかいですね。

（Ｉ）１個、２個、３個と円を重ねる方法は俵積みと言います。
この場合、紐の長さは　１２Ｒ+２πＲ　になります。
（ＩＩ）中心に円が１つあって周囲に円が６つある場合の周の長さと同じです。
円が１つ増えているのに周囲の長さが変わっていないのです。　
１２Ｒ＝６×２Ｒ　です。
２Ｒは接して存在している２つの円の中心間距離です。
６は紐に接して存在する２つの円の組が６つあるということです。
２πＲの部分は円１つの周りを一周ぐるりと回っているのと同じだということから来ています。
（以下ではこの部分は共通であるということから省いて考えます。）

（ＩＩ）では円の数が（Ｉ）よりも一つ増えています。でも中心にある円は紐に接触していません。
紐に接触して存在している円はどちらの場合も６つです。円と円も接触しています。

（ＩＩ）から円を１つ取り除いたとします。
２Ｒが２つなくなって代わりに接触していない２つの円の中心間距離が入ってきます。
この中心間距離は２Ｒ√３（＜４Ｒ）ですので１周で８Ｒ+２Ｒ√３です。
これがご質問の場合です。１つの円の周りに互いに接触して５つの円が接触して存在しているのです。

５つの円が互いに接触しているとは限らない場合はどうなるでしょう。
（この場合、１２Ｒよりも短くなっていることは確かです。（ＩＩ）と比べればいいのです。
でもどの配置が最小になるかを示すのは難しそうです。）

５つの円が正五角形の位置にある時は２０Ｒsin３６°≒１１．７６Ｒ　になります。
１２Ｒ＞２０Ｒsin３６°＞（８＋２√３）Ｒ≒１１．４６R
２０Ｒsin３６°が最大で（８＋２√３）Ｒが最小でしょう。

半径２Ｒの円の円周状に５つの点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，Ｐ５を取ります。
隣り合う点の間の距離は２Ｒ以上であるという条件で距離の和を考えます。
Ｌ＝Ｐ１Ｐ２＋Ｐ２Ｐ３＋Ｐ３Ｐ４＋Ｐ４Ｐ５＋Ｐ５Ｐ１
Ｌが最大になる場合、Ｌが最小になるば場合の点の配置を求めよという問題になります。
均等に分割した場合が最大で５つの円が全部接触している場合が最小になるでしょう。
（証明しなければいけないのはこの部分になります。）
角度で表した条件
Ｓ＝sinθ１＋sinθ２＋sinθ３＋sinθ４＋sinθ５
θ１+θ２＋θ３＋θ４＋θ５＝３６０°
ｉ＝１～５　θi≧３０°
の方が楽かもしれません。

４つがくっついていて１つだけ離れているのであれば
Ｓ1=sinθ１＋sinθ２
　　θ１＋θ２＝１８０°
　　
Ｓ１＝２sinθ１ですからθ１=θ２＝９０°で最大、θ１＝３０°で最小がすぐに出てきます。

一般的に証明するのは？　

No.3 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/04/19 10:05

質問者が問うている内容は、

Ａ：最短の並べ方は説明通りのようだが、そうだとして長さが上記になることを証明したいのでしょうか？
Ｂ：それとも、説明されている並べ方が最短であることの証明なのでしょうか？
Ｂだとすると、けっこう面白い問題だとおもいます。

１．準備
　　2次元の半径rの円で考えることができますね。
　　任意のｎ多角形を考えます。制約としては頂点間の距離が2r以上でとつ多角形とします。
　　その頂点に半径rの円を置いて、問題にあるように周囲を紐でくくった長さを考えると、
　　その長さは　n多角形の辺の長さの合計＋2πr　となります。　2πrの部分は円と紐が接している
　　部分の長さの合計を意味し多角形のnによらず一定値です。
　　よって長さの大小は多角形の辺の長さの合計で決まります。

方針１　　泥臭くやってみる
6個の缶ですから、次のような場合が考えられます。
（１）6個の缶が全てある長さを持って紐と接している。（6角形）
（２）5個の缶が全てある長さを持って紐と接している。（5角形）　1個は5角形の内部にあって紐と接しない。
（３）4個の缶が全てある長さを持って紐と接している。（4角形）　2個は4角形の内部にあって紐と接しない。
（４）3個の缶が全てある長さを持って紐と接している。（3角形）　3個は3角形の内部にあって紐と接しない。
それぞれの場合において、さらにどういう頂点の位置関係の場合最短になるか考えてみると解答にいたります。
ちょっとやってみましたが、質問者のいう並べ方、（２）の場合で5個は半径2r上に中心を置き、かつ5個がくっついている場合が最短のようです。

方針２　　数学的帰納法がつかえないかどうか？
3個の缶では正三角形に配置（くっつけた形で）した場合が最短といえるでしょう。（証明省略）
その上で、4つにするとき、5つするときというように考えるのも面白いかもしれません。解けるかどうかは分かりません。

この回答への補足

知りたいのは、Ｂの内容です。それが、最短であることの証明です。Ａについては、答えはすぐ導けました。方針１で考えてみます。

補足日時：2012/04/19 20:25

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/04/19 02:54

最短は、２列に３個ずつ並べさらに、中央の２個を上部にずらして中央の缶が残りの５個にすべて接するように並べた時で、

＞その長さは（8+2√3）Ｒ＋２πＲとなるようです。
図の説明がわかりにくいですが、こちらが描いている図と同じものが描かれてあれば、ここに書いている内容も分かると思います。
中央に円が１個で、その周囲に５個の円が接していて、全体に五角形のような形です。下側２個の円は離れているので、空間があります。
すべての円の中心を結ぶと、１辺が２Ｒの正三角形が４個できます。
ひもの掛かる部分は、
直線部分は、２Ｒの部分が４つ，正三角形の高さ√3Ｒの部分が２つ（下側の２個の円が離れた部分）
曲線部分は、中心角６０度の扇形が３つ，中心角９０度の扇形が２つです。
（曲線部分は、６０×３＋９０×２＝３６０度より、円周１個分です。よって、２πＲ）
以上より、
４×２Ｒ＋２×√3Ｒ＋２πＲ＝（８＋２√3）Ｒ＋２πＲです。

図を描いて考えてみて下さい。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/04/18 22:34

６個の缶を並べ、その周囲にたるみなく線を引いた図を書いてみましょう。

ひもが缶に接している部分の中心角が何度になるか、缶と接していない部分が缶の半径の何倍の長さになるかを考えてみましょう。