9次正方行列Aについて

9次正方行列Aについて固有値λが、１（単根）、０（８重根）とします。
ジョルダン標準形が次のようになるとき(～は相似記号）、
重複する固有値０に対する階数rank(A-λE)=rank(A)は、どんな条件を満たしますか。 その必要十分条件を求めなさい。

という問題で、それぞれの解答はあっていますか？

(1) A～J(1,1)⊕J(0,8)

解答 rank(A)=8
(2) A～J(1,1)⊕J(0,7)⊕J(0,1)

rank(A)=7 & rank(A^2)=6

(3) A～J(1,1)⊕J(0,6)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=6 & rank(A^2)=5

(4) A～J(1,1)⊕J(0,5)⊕J(0,2)⊕J(0,1)

rank(A)=6 & rank(A^2)=4 & rank(A^3)=3

(5) A～J(1,1)⊕J(0,5)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=5 & rank(A^2)=4

(6) A～J(1,1)⊕J(0,4)⊕J(0,4)

rank(A)=7 & rank(A^2)=5& rank(A^3)=3 & rank(A^4)=1

(7) A～J(1,1)⊕J(0,4)⊕J(0,3)⊕J(0,1)

rank(A)=6 & rank(A^2)=4 & rank(A^3)=2

(8) A～J(1,1)⊕J(0,4)⊕J(0,2)⊕J(0,2)

rank(A)=6 & rank(A^2)=3 & rank(A^3)=2

(9) A～J(1,1)⊕J(0,4)⊕J(0,2)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=5 & rank(A^2)=3 & rank(A^3)=2

(10) A～J(1,1)⊕J(0,4)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=4 & rank(A^2)=3

(11) A～J(1,1)⊕J(0,3)⊕J(0,3)⊕J(0,2)

rank(A)=6 & rank(A^2)=3 & rank(A^3)=1

(12) A～J(1,1)⊕J(0,3)⊕J(0,3)⊕J(0,1) ⊕J(0,1)

rank(A)=5 & rank(A^2)=3 & rank(A^3)=1

(13) A～J(1,1)⊕J(0,3)⊕J(0,2)⊕J(0,2) ⊕J(0,1)

rank(A)=5 & rank(A^2)=2

(14) A～J(1,1)⊕J(0,3)⊕J(0,2)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=5 & rank(A^2)=3

(15) A～J(1,1)⊕J(0,3)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=4 & rank(A^2)=3

(16) A～J(1,1)⊕J(0,2)⊕J(0,2)⊕J(0,2)⊕J(0,2)

rank(A)=5 & rank(A^2)=1

(17) A～J(1,1)⊕J(0,2)⊕J(0,2)⊕J(0,2)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=4 & rank(A^2)=1

(18) A～J(1,1)⊕J(0,2)⊕J(0,2)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=3 & rank(A^2)=1

(19) A～J(1,1)⊕J(0,2)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=2 & rank(A^2)=1

(20) A～J(1,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)

rank(A)=1

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/08 14:03

n 次正方行列 A のジョルダン標準形を J、その変換行列を P、

n 次単位行列を E と置きす。

J = (P^-1)AP より、任意のスカラー s、自然数 m に対して

(A-sE)^m = P (J-sE)^m (P^-1) が成り立ちます。



s が A の固有値のひとつである場合に、J-sE がどんな行列か、

成分を考えてみてください。J が具体的にどんなジョルダン胞で

構成されているかが判っていれば、これにより、

(J-λE)^m の列のうち、零ベクトルになるものが、どこに何個

あるかが見えてくるハズです。

それにより、A の固有値 λ に対する高さ m の一般固有空間の

次元 dim Ker (A-λE)^m = dim Ker (J-λE)^m が求められます。

rank (A-λE)^m = n - dim Ker (A-λE)^m も、計算できますね。



結論を言えば、固有値 λ に対する各ジョルダン胞の、胞内で

第1行～第m行目にある行数の総和が、dim Ker (J-λE)^m であり、

それに対応する P の列が、その一般固有空間の基底を成します。

「総和」は、けして、m×ジョルダン胞の個数 ではありません。

m 次より小さいジョルダン胞には、「m行目」は無いからです。



例えば…



J ～ J(1,1) (+) J(0,3) (+) J(0,2) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1)

であれば、

rank(A-0E) = 9-(1+1+1+1+1) = 4,

rank(A-0E)^2 = 9-(2+2+1+1+1) = 2,

rank(A-0E)^3 = 9-(3+2+1+1+1) = 1.



J ～ J(1,1) (+) J(0,3) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1)

であれば、

rank(A-0E) = 9-(1+1+1+1+1+1) = 3,

rank(A-0E)^2 = 9-(2+1+1+1+1+1) = 2,

rank(A-0E)^3 = 9-(3+1+1+1+1+1) = 1.



…です。

J(0,m) の m の合計は、8 でないとマズイでしょうね。

この回答へのお礼

(14)と(15) にJ(0,1)が一個足りませんでした。

お礼日時：2013/02/08 14:05

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2013/02/08 09:29

deg(J(1,1)⊕J(0,3)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1))=8≠9となっています

この回答へのお礼

(14)と(15) にJ(0,1)が一個足りませんでしたね。

お礼日時：2013/02/08 14:03

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2013/02/07 10:42

(14)と(15)は間違っています.

この回答への補足

正解とその理由教えて下さい。

補足日時：2013/02/07 16:09