線形代数で行列を対角化せよ という問題のとき固有値を求めてしまえば対角化した時の値がわかるのになぜ固

線形代数で行列を対角化せよ
という問題のとき固有値を求めてしまえば対角化した時の値がわかるのになぜ固有ベクトルを求める必要があるのですか？

No.4 回答者： han-ka-2 回答日時： 2024/07/12 14:58

他のご回答と同じ内容ですが，具体的には，工学系の連続体力学では行列の平方根とか，行列の exp とかが必要になることがあるからです。

（A）^{1/2}, exp（A)・・・・

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/12 14:03

行列A を「対角化する」というのは、

A = PD(P^-1), D は対角行列 という式を作るという意味で、
D だけを求めるってことではないんです。
単に、そういう言葉の約束です。

行列を対角化する目的は、べき乗 A^n を求めるためであることが多く、
A^n = (PD(P^-1))^n = P(D^n)(P^-1)^n とやったり、
漸化式 v[n+1] = A v[n] を解くために v[n] = A^(n-1) v[1] の右辺に
この式を使ったり、
微分方程式 dv/dt = A v を d(P^-1)v/dt = D (P^-1)v と変形して
(P^-1)v の成分ごとに解いたりしますが、
どんな使い方のときも、最終的な解を得るには D だけでなく P も使います。
A と D の関係を表す係数は無しには済まないのです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/12 14:03

もう一つ

対角化はたいてい、対角化することだけが目的ではありません。
応用によって、たいていはその時は変換に使った固有ベクトルを
並べた行列の内容が必要になることが多々あるのです。

例えば、1階のn次ベクトル微分方程式を対角化を利用して
座標変換し、n個の独立の微分方程式に分解できたりしますが
そうやって得られた微分方程式を解いて得られた答えを元の
座標系に変換するには、固有ベクトルを並べた行列の内容が
必要になります。

要するに、対角化と固有ベクトルはセットで使う方が有用
ということを覚えておいてください。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/12 12:06

n次の正方行列を対角化する場合

n個の一次独立な固有ベクトルが必要だけど、
一次独立に出来ない場合が有り、その場合対角化出来ません。

たとえば
3 1
0 3
の対角化を試みてみましょう。固有値は簡単に求まりますが対角化は
出来ません。