行列式の上手な解き方

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この行列式の解き方のコツを教えて下さい。宜しくお願いします。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/11 14:26

こんなん、結果を知ってなくても、

普通に計算したらよいです。
A No.1 は、ちょっと残念ですが。

行列式の値は、ある列に他の列のスカラー倍を
足したり引いたりしても変わりません。
問題の行列の第1列を、第2,3,4列から引くと、
１　　０　　０　　０
１　　１　　２　　３
１　　３　　８　　15
１　　７　　26　　63
これを第1行で余因子展開すると、値は
１　　２　　３
３　　８　　15
７　　26　　63
の行列式と同じになります。
「余因子展開」をよく知らなければ、
成書で勉強しておいてください。
重要事項ですが、ここで説明するには
話の分量が多すぎます。

さて、新しい第1列を使って、再度
第1列を掃き出しましょう。
第1列の2倍を第2列から、3倍を第3列から引くと、
１　　０　　０
３　　２　　６
７　　12　　42
となって、第1行で余因子展開すれば、
２　　６
12　　42
です。結局、
2×42ー6×12
が答えと判ります。そう大変でもないでしょう？

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/02/10 20:18

これは線形代数の教科書の行列式のところに必ず（？）載っている

Vandermodeの行列式

です．第i列が1,x_i,x_i^2,・・・,x_i^{n-1}(nは次数)となっているものです．

これの行列式は次のようになることが知られています．

（☆）(-1)^{n(n-1)/2}⊿(x_1,x_2,・・・,x_n)

ここで

⊿(x_1,x_2,・・・,x_n)=Π_{1≦i<j≦n}(x_i-x_j)

は差積とよばれます．

今の場合n=4,x_i=i(i=1,2,3,4)ですから

(-1)^{4(4-1)/2}(1-2)(1-3)(1-4)(2-3)(2-4)(3-4)

=(+1)(-1)(-2)(-3)(-1)(-2)(-1)=12

となります．

（☆）の導き方の概要は次のようになります．

・行列式は列の交換で符号が変わるからx_1,x_2,・・・,x_nの交代式で割り切れ，交代式は差積で割り切れます．
・行列式の展開式で対角項の積1・x_2・x_3^2・..・x_n^{n-1}の係数はsgn(恒等置換)=1であり，差積の同様の項の係数は
(-1)^{1+2+・・・+(n-1)}=(-1)^{n(n-1)/2}です．

詳しくは線形代数の教科書をみて下さい．

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/10 02:04

「コツ」もなにもない地道な方法なら計算できますか?

No.1 回答者： sorakana 回答日時： 2013/02/10 01:56

解き方・・・解き方というのは一つにする方法でしょうか。

それならまず１行目（１列目）がすべて１なので省けます。

２　　３　　４
４　　９　１６
８　２７　６４

ここまで解けば分かるでしょうか。一応

次は
2(9*64-16*27)-3(4*64-16*8)+4(4*27-9*8)=
で答えがでます。

公式名とか用語とかは忘れてしまいましたがこんな感じです。

補足
最初4行4列の時、1行目（1列目）が全て１でなかったのなら、操作して列か行を全部１にすれば省けます。