数的推理の整数について

こんばんは。
0<A<150であるような整数Aがある。Aと42の最大公約数は6であり、Aと32の最大公約数は8であるという。このようなAはいくつあるか。
1. 1個 2. 2個 3. 3個 4. 4個 5. 5個
正解は3の3個です。
解き方を教えてください。宜しくお願いします。

No.4 回答者： staratras 回答日時： 2013/08/24 22:08

「Aと42の最大公約数は6」 42=2・3・7 だからAは２と３を少なくとも１つずつ素因数にもつが７は持たない…(1)

「Aと32の最大公約数は8」 32=2^5 だからAは2を3個素因数にもつが4個以上は持たない…(2)

(1)(2)からAは2を3個、3を1個素因数にもつので2^3・3=24 の倍数である。

0<A<150 の範囲に24の倍数は24,48(=24・2),72(=24・3),96(=24・4),120(=24・5),144(=24・6)の6個あるが、条件（２）より24の偶数倍はAの素因数に２が4個以上含まれることになるので不適である。よってAは24,72,120の3個である。

No.3 回答者： ken-nosuke 回答日時： 2013/08/24 21:48

ANo1の補足（いらぬおせっかい？）

４２＝２ｘ３ｘ７、A=２ｘ３ｘYとするとYは、７の倍数ではない

３２＝２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２、A=２ｘ２ｘ２ｘＺとするとＺは２の倍数でない。すなわちＡは１６の倍数ではない

なお、ANo.2は、４８の倍数ということで間違いです。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/24 21:27

>Aと42の最大公約数は6であり、Aと32の最大公約数は8であるという

従ってA＝6*8*ｎ＝48ｎ（ｎは整数）

つまり、Aは48の倍数であるということです。

0<A<150となるAは48(n=1),96(n=2),144(n=3)

だけです。

よって

3個が答え

No.1 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/08/24 21:25

Aと４２の最大公約数が6→Ａは６の倍数であるが７の倍数ではない

Ａと３２の最大公約数が８→Ａは８の倍数であるが16の倍数ではない
６と８の最小公倍数は２４であるから、Ａは２４の倍数であるが、
７の倍数でも１６の倍数でもないものとなる。
ここまで分かれば後はご自分で数えてください。