問題 点(1、1)を通る傾きmの直線と、放物線y=1/2(x^2)とで囲まれる部分の面積をSとする。Sを最小にするmの値と、そのときのSの値を求めよ。
解答 (1、1)を通る傾きmの直線はy=m(xー1)+1だから、放物線との交点のx座標は
1/2(x^2)=m(x-1)+1の解である・・・・・(1) 整理してx^2ー2mx-2=0よって
x=m±√(m^2ー2m+2) これをα、β(α<β)とおくと、(1)より
m(x-1)+1ー1/2x^2=ー1/2(xーα)(xーβ)となることから、
β β
S=∫ [m(xー1)+1ー1/2(x^2)]dx=ー1/2∫ (xーα)(x-β)dx
α α
=1/2×1/6(βーα)^3=1/12[2√(m^2ー2m+2)]^3=2/3[√(m-1)^2+1]^3
よって、Sが最小になるとき、m=1、S=2/3
質問
(1)y=m(x-1)+1このときm≠0と表記する必要があるのではないか。
(2)α、βが虚数になる場合のmの値が存在するか確かめる必要があるのではないか。(この問題ではmがどんな値でもα、βは実数となる) よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんわ。
>(1)y=m(x-1)+1このときm≠0と表記する必要があるのではないか。
これは必要ありません。
実際に、m= 0を代入すれば、直線の式は y= 1となって放物線と 2点で交わります。
というよりも、必要になるとすれば
「y軸に平行となる直線は考えなくてよい(点(1, 1/2)と 1点でしか交わらないため)」
こちらではないでしょうか?
y= m(x- 1)+ 1で表される直線には、y軸に平行な直線は含まれていません。
>(2)α、βが虚数になる場合のmの値が存在するか確かめる必要があるのではないか。
>(この問題ではmがどんな値でもα、βは実数となる) よろしくお願いします。
α, βが虚数になるということは、交点の x座標が虚数ということになります。
これは、いま考えている平面では考えることができません。
これも言い換えれば、
「囲む部分が存在するためには、
導いた xの 2次方程式が異なる 2つの実数解持たなければならない」
ということです。
問題によっては、この条件から mの値の範囲を絞り込むことになります。
いまの問題では、図を描けばわかるように、
直線が y軸に平行な直線とならない限りは囲む部分が必ず存在します。
(放物線の「内側」に必ず通るべき点があるため)
No.2
- 回答日時:
>(1/2)x^2=m(x-1)+1・・・・・(1)
>の解である。
>整理して
>x^2-2mx-2=0
これは間違い。正しくは
x^2-2mx+2m-2=0
>よって
>x=m±√(m^2-2m+2)
=m±√((m-1)^2+1)
(ルート内>0なのでこれは共に実数解)
>これをα、β(α<β)とおくと、
>(1)より
「(1)より」はダメ!
α≦x≦βでは
y=m(x-1)+1
のグラフの方が
y=(1/2)x^2
のグラフの上方に存在する。
つまり、
m(x-1)+1≧(1/2)x^2
yのグラフの大きい方から小さい方を引くと
>m(x-1)+1ー1/2x^2=ー1/2(xーα)(xーβ)
>となることから、
…
とした方がいいでしょう。
>(1)y=m(x-1)+1このときm≠0と表記する必要があるのではないか。
m≠0と表記してはため。
m=0の時も 直線は y=1 となり、y=(1/2)x^2と2交点を持つから、除外してはいけない。
(1,1)を通る直線のうち、上記の表現では x=1を表せないので、
「直線x=1はy=(1/2)x^2と一点(1,1/2)でしか交わらないので題意から 直線x=1は覗かれる。」
と触れておいた方がいいでしょう。
>(2)α、βが虚数になる場合のmの値が存在するか確かめる必要があるのではないか。(この問題ではmがどんな値でもα、βは実数となる)
α,β=m±√((m-1)^2+1)
で√内>0なのでα,βは2つとも実数であることが自明なので、
α,βを求めてあれば、確かめる必要は無いでしょう。
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