連比の法則について

教科書と動画を併せて見たのですが
連比の法則がいまいち理解仕切れず、母に聞いたところ、動画より何倍も分かり易く、簡単に理解できました。

動画では

例えばＡ：Ｂ＝２：３、Ｂ：Ｃ＝５：４の場合（数字は適当なので、問題としてなり立たない場合があるかと思います）

Ａ：Ｂ：Ｃ
２：３
　 ５：４
(表示の仕方でズレが生じるかも知れません）

と書いて、まずＢは３と５の最小公倍数が15だから15。
で、Ａは2×5で10、Ｃは4×5で20という説明のみで

何で最小公倍数？何で2に5を掛けるの？何で4に5を掛けるの？という感じでした。
（説明的に、通分のような感じだなとは思った物の、なんでそうなるのかが全く分かりませんでした）

ただ、教科書の書き方的に
私は下記のように理解しました。
（上記問題の場合）「被っている数字は掛けた物がその値（被っている＝Ｂの値、のため3×5＝15＝Ｂ）。ＡとＣの値は、被っている値、Ｂと掛けたものがその値。但し同じ比同士は掛けてはいけない。（2×3ではなくて2×5、4×5でなくて、4×3）」

というふうにしか理解できず、またその考え方で、その手の問題が解けてしまったため、余計この考え方で合っているんだというふうになりました。
（最終的には、こういう考え方だと最小公倍数が、それぞれの数字を掛けたものとイコールでない場合は成立しないと気づきました。（例えば2と4だと2×4＝8ではなくて、4ですので）



で、母に聞いたところ
連比という法則は聞いたことが無かったようなのですが、
教科書で見聞きした内容を母に話したところ
連比の法則という形で認識していなかったものの、こういう場合はこう計算すれば答えが出るというのは知っていました。（連比の法則というよりも、比はこういうものだからという説明の仕方でした）

で、その説明が分かり易かったのですが

Ａ：Ｂ：Ｃ
２：３
　 ５：４

「まずＢは3×5で15でしょ。で、3を5倍したら15なんだから2も5倍。5を3倍したら15なんだから4も3倍。」

これで「なるほど」となりました。

結局3×5をするところは最小公倍数を出すという意味で、そこは１＋１はなぜ２になるのかと同レベルで疑問を持ってはいけない所。
で、通分と一緒で、3を5倍したなら2も5倍しないとおかしくなる。
5を3倍したなら、4も3倍しないといけないという理解ができ、スッキリしました。


そこで、やっと気づいたのが
0.3：2＝0.6：4みたいな場合、分かりづらいから小数を10倍して整数にする。
で、小数だけ10倍にしたらおかしいから2も4も10倍にする（というか、全てに10を掛ける）。
と一緒だということです。

で、ふとそのことを母に言ったところ「当然でしょ」という感じでした。

動画ではそのような説明は一切無く、
最小公倍数を求めるという以外、細かい説明はありませんでした。

普通は、それだけで全てを理解できる物なのですか？
やっぱり私は理解力が乏しいのでしょうか？

小数が混じった比の計算で全ての数を10倍、100倍したり
分数が混じった比の計算で整数にするため、分母の最小公倍数をすべての数にかけたりすることは知っていましたし、そういう問題を解けてはいましたが、
それはそれ、これはこれという感じで、頭の中で全く繋がりませんでした。

No.2 ベストアンサー 回答者： KEIS050162 回答日時： 2014/05/30 12:51

少数、分数、比、をそれぞれ、それはそれ、これはこれ、という理解をしていると解き方は分かるけど、何故そうなのか理屈が分からないということになりますよね。

それぞれ関連がある、というか同じものだと思ってしまうところから理解すれば早いと思います。

例えは、０．６　は　６／１０　の意味です。なぜならば、０．６は１を１０等分したものの６個分だからです。

更に、Ａ：Ｂが２：３　ということは、Ａ　は　Ｂの２／３　倍という意味です。
なぜならば、Ａを２等分したものと、Ｂを３等分したものが等しいので、Ｂを３等分したものの２個分がＡになるからです。（線図を描いて見れば一目瞭然です。）


こう考えてしまえば、後は分数の通分と同じことです。

例１）
０．６：４　＝　６／１０：４　＝　６：４０　＝　３：２０
（０．６を分数に書き直し、両辺を１０倍して、更に約分する）

例２）
Ａ：Ｂ　＝　２：３
Ｂ：Ｃ　＝　５：４

Ｂが共通なのでこれを　１　とすると、
Ａ　は　Ｂの２／３倍
Ｃ　は　Ｂの４／５倍

従って、　Ａ：Ｂ：Ｃ＝　２／３　：　１　：　４／５

分母を通分して、
　　　　　　　　　　　＝　１０／１５　：　１５／１５　：　１２／１５
約分して、
　　　　　　　　　　　＝　１０　：　１５　：　１２


ご参考に。

この回答へのお礼

＞更に、Ａ：Ｂが２：３　ということは、Ａ　は　Ｂの２／３　倍という意味です。
＞なぜならば、Ａを２等分したものと、Ｂを３等分したものが等しいので、Ｂを３等分したものの２個分が＞Ａになるからです。（線図を描いて見れば一目瞭然です。）

こういう考え方はしたことがありませんでした。

てことはＢはＡの２／３倍なんですね。
多分、根本的なところは分かっているんでしょうが、数字として書き表してしまうと
分かんなくなるんだと思います。

料理とかで調味料の割合を１：１：３とか表すのは分かるのですが
うまく頭の中でイコールになっていかないのかもしれません。

お礼日時：2014/05/30 14:21

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/30 13:03

数学はできるだけ一般的な方法を用いて問題を解決するのが本来の姿です。

その結果、連比という、なかなか変換のできない特殊な言葉を覚えることなく、

最小公倍数などという何の役に立つのかよくわからない言葉に煩わされることなく、

思考と記憶の節約を図ることができます。


＞例えばＡ：Ｂ＝２：３、Ｂ：Ｃ＝５：４の場合（数字は適当なので、問題としてなり立たない場合があるかと思います）


：(比)は下位の算数レベルの用語であって数学では用いないのが原則です。数学では分数で記載します。

A/2=B/3

この値をpと書くことにします。

A/2=B/3=p (1)

よって

A=2p

B=3p


同じく

B/5=C/4=q　　　　　(2)

として

B=5q

C=4q


Bは両方に出てきて

B=3p=5q

よって

p=5q/3

qを用いてAを表すと

A=2p=2*5q/3=10q/3

以上から

A:B:C=10q/3:5q:4q (3)

qは共通に出てくるので消去できて

A:B:C=10/3:5:4=10:15:12　　(4)

(3)、(4)の書き方は比に慣れた質問者を意識していますが数学としては最初に言ったように

A/(10q/3)=B/5q=C/4q

と書き

A/10=B/15=C/12

となります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

数学の得意な人は、最終的にそういう考え方に行きつき
そのほうが分かり易いのかも知れませんが

数学が得意で無い私にとっては、難しすぎてついていけませんでした。
なおかつ、指定の教科書を使って勉強しなければいけない場合は難しいです。

お礼日時：2014/05/30 14:37

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2014/05/30 12:03

A : B = 2 : 3 ... (1)

B : C = 5 : 4 ... (2)

Bが3と5になっている。これを同じにしたい。
3と5の公倍数を使えば、同じになる。
一般には最小公倍数を使う。15。

A : B = 2 : 3 = 10 : 15
B : C = 5 : 4 = 15 : 12
Bが同じになった。
よって、
A : B : C = 10 : 15 : 12 ... (3)

(3)において、
A : B = 10 : 15 = 2 : 3
(1)を満たしている。
また、(3)において、
B : C = 15 : 12 = 5 : 4
(2)を満たしている。
OK

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/05/30 12:17