高校数学の確率の問題です、別解が分からないです

以前同じ問題を投稿しましたが別解が分からないのでよろしくお願いします

右図のように12個の点A,B,C,D,E,F,G,H,K,Lが12本の線で結ばれている　粒子Pが点Aを出発してこれらの12個の点の間を次の規則に従って移動する　

(i)粒子Pは点ABCDの各点では上下左右のいずれか隣の点へ同じ確率1/4で1秒間で移動する

(ii)粒子Pが×印の付いた点GKのいずれかに達すれば直ちに消滅する　

(iii)粒子Pが○印の付いた点EFHIJLのいずれかの点に達すれば以後その点で停止し続ける　

出発してからn秒後に粒子Pが消滅する確率をp[n],停止する確率をq[n]とする、このとき、

(1)粒子Pが消滅する確率Σ[n1→∞]p[n],および停止する確率Σ[n1→∞]q[n]を求めよ

(2)粒子Pが消滅するか停止するまでの時間の期待値Σ[n1→∞]n(p[n]+q[n])を求めよ

(2)なのですが粒子Pが消滅するか停止するまでの時間の期待値をEとする　

点Aを出発した粒子Pは1秒後には点EかLで停止するか,点BかDに移る,点BかDに移動した
粒子Pがその後,停止するか消滅するまでの時間の期待値は,点Aから出発してから停止するまでの時間の期待値と全く同じであるから

初めから数えると(1+E)秒であるとあるのですが、点BかDに移動した
粒子Pがその後,停止するか消滅するまでの時間の期待値は,点Aから出発してから停止するまでの時間の期待値と同じになるという所が何故同じと言えるのか分かりません

　後の計算式はE=1×1/4×2+(1+E)×1/4×2とありましたこの式も
何故そうなるのか分からないです

No.4 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/07/30 22:33

期待値に確率をかけていると考えるから訳が分からなくなる。

E=1×1/4×2+(1+E)×1/4×2　　この式の意味は左辺のEは求めるE（Aから出発して止まるまでの平均時間）
右辺の最初の1x1/4x2　は1/4の確率でLかEにいって止まってしまう。その時にかかる時間は1　なので　平均値への寄与は1秒x1/4x2
(1+E)は1秒後にD(またはB)に行って、その後D(またはB)から平均E秒後に止まるということを意味している。　そういうことが起こる確率は1/4x2ですよ。といっている。

この回答への補足

>その後D(またはB)から平均E秒後に止
左辺の意味は分かりましたがEって最初のAから始まって停止するか消滅するまでの全ての平均なのに何でBやDから始まってEを使えるんですか？

補足日時：2014/07/30 23:40

この回答へのお礼

御返答ありがとうございます

お礼日時：2014/07/30 23:40

No.3 回答者： f272 回答日時： 2014/07/30 13:13

> >(1+E)×1/4×2

> 期待値に確率を掛けたりしていますが、この式は何を表しているんですか？

例えばさいころで出る目の期待値は，それぞれの目に確率を掛けます。
1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+5*1/6
これを
1*1/6+2*1/6+4.5*4/6
と考えても同じことでしょ。1の目がでるのが1/6で，2の目がでるのが1/6で，3以上の目（平均は4.5）がでるのが4/6ですから。

粒子Pが消滅するか停止するまでの時間の平均を出そうするのに，
Eに行く場合 確率1/4 時間 1
Lに行く場合 確率1/4 時間 1
Bに行く場合 確率1/4 時間 1+E
Dに行く場合 確率1/4 時間 1+E
に分けて考えているだけです。


> (1+E)秒等と表せれていますが、期待値の単位が何故秒とかとなっているのですか？

粒子Pが消滅するか停止するまでの時間を考えているのだから単位は秒で問題ないでしょ。期待値はその平均ですからやはり同じ単位です。

この回答への補足

>Bに行く場合 確率1/4 時間 1+E
>Dに行く場合 確率1/4 時間 1+E
1+E秒というのはAかBやDに行くのにまず1秒かかってそこから消滅するか停止するまでの時間の平均がE秒って事ですよね？

でもEって0秒の時Aにいる時から始まって全部含めて消滅するか停止するまでの時間の平均がE秒って事ですよね、

何でBやDから始まって停止するか消滅するまでの時間の平均が1+Eなんですか、

1は0秒からBやDに行くのにかかる時間としても、そこからE秒を足しているのが理解できないです、Eは全体の平均なのに何故でしょうか？　

それと確率の1/4もAからBやDに行く確率が1/4ですが何でそれを全体の平均の停止するか消滅するまでの時間のE秒にかけているのか分かりません

補足日時：2014/07/30 21:12

この回答へのお礼

御返答ありがとうございます

お礼日時：2014/07/30 21:12

No.2 回答者： f272 回答日時： 2014/07/30 10:19

> でもAから始まった場合はAからBかDに進む1回分が多いからAから消滅するか停止するまでの時間の期待値は同じにはならないんじゃないですか？

Aからのときと，Bからのときが同じと言っているのであって，
Aからのときと，AからBを経由するときならば同じではなく1回分だけ多くなりますよ。
だから
E=1×1/4×2+(1+E)×1/4×2
の式でもBまたはDを経由するときは（1+E）を使っているでしょ。

この回答への補足

>Aからのときと，AからBを経由するときならば同じではなく>1回分だけ多くなりますよ。
分かりました、やはりそうですよね

>(1+E)×1/4×2
期待値に確率を掛けたりしていますが、この式は何を表しているんですか？(1+E)秒等と表せれていますが、期待値の単位が何故秒とかとなっているのですか？

補足日時：2014/07/30 11:26

この回答へのお礼

御返答ありがとうございます

お礼日時：2014/07/30 11:26

No.1 回答者： f272 回答日時： 2014/07/30 02:12

点Aから出発してから停止あるいは消滅するまでの時間の期待値と

点Bに移動した後，停止あるいは消滅するまでの時間の期待値と
点Dに移動した後，停止あるいは消滅するまでの時間の期待値は同じですね。

なぜなら，ＰがAにいるときも，ＰがＢにいるときも，ＰがDにいるときも，点の配置が対象だから全く同じ状況になっているからです。

E=1×1/4×2+(1+E)×1/4×2
は素直に式を書いただけですよ。
左辺は点Aから出発してから停止あるいは消滅するまでの時間の期待値
右辺１項目は点Aから出発してからEまたはLに移動す場合の，停止あるいは消滅するまでの時間の期待値とその確率(1/4*2)の積
右辺２項目は点Aから出発してからBまたはDに移動す場合の，停止あるいは消滅するまでの時間の期待値とその確率(1/4*2)の積

この回答への補足

>点Bに移動した後，停止あるいは消滅するまでの時間の期待
>値と
>点Dに移動した後，停止あるいは消滅するまでの時間の期待
>値は同じですね
点BとDから停止するか消滅するまでの時間の期待値が同じはわかりますよ、全く対称ですからね、

でもAから始まった場合はAからBかDに進む1回分が多いからAから消滅するか停止するまでの時間の期待値は同じにはならないんじゃないですか？

補足日時：2014/07/30 03:33

この回答へのお礼

御返答ありがとうございます

お礼日時：2014/07/30 03:33