マニングの流速公式について

マニングの流速公式で
流量(Q)＝0.2(m³/s)を勾配(i)＝1/150、粗度係数(n)＝0.015で流すためには、管の直径はいくらにしたらいいか
という問題の解き方を教えてください 

No.2 ベストアンサー 回答者： okormazd 回答日時： 2014/08/03 21:47

マニング式は下記です。

、

v=(1/n)R^(2/3)I^(1/2)

v:流速 [m/s]　(=Q/((π/4)D^2))
n:粗度係数[m^(1/3) s]
I:勾配
R:径深 [m]　(= A /S)
A:流積 [m2]　(=(π/4)D^2　満流の場合)
S:潤辺 [m]　(=πD　満流の場合)
D:管径[m]

したがって、満流(管全体が流体で満たされている状態)なら、

R=(π/4*D^2)/(πD)=D/4

で、マニング式は、

4Q/(πD^2)=1/n*(D/4)^(2/3)*I^(1/2)

になるから、

D=4^(5/8)*(nQ/(πI^(1/2)))^(3/8)

で計算できる。

Q=0.2[m^3/s]
n=0.015[m^(-1/3) s]
I=0.006666667

を入れて計算すれば、

D=0.449[m]

になります。

計算は関数電卓や表計算ソフト(Excelなど)を使えばいいでしょう。

式の変形や計算は自分で確認してください。

No.1 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/08/03 19:44

　マニングの公式は、n：粗度係数、R：径深（水理学的平均水深）、i：水面勾配、v：流速として、

v＝(1/n)×R^(2/3)×i^(1/2)　―(1)
＝(1/n)×(A/S)^(2/3)×i^(1/2)
＝(1/n)×A^(2/3)×i^(1/2)/S^(2/3)　―(2)

となります。公式は(1)の形で示されることが多いのですが、問題はRです。これは、流路を流れる流体の断面積Aを、流体が流路に接する長さSで割ったもの（A/S）ですので、Rに代入しておきました。

　流量での式に直すので、まだ具体的なAやSは入れていません。流量Qはv×Aですから、(2)のvにAをかけます。

Q＝v×A
＝{(1/n)×A^(2/3)×i^(1/2)/S^(2/3)}×A
＝{(1/n)×A^(5/3)×i^(1/2)}/{S^(2/3)}
＝{(1/n)×A^(5/3)×i^(1/2)}×{S^(-2/3)}　―(3)

　管の断面が円形で管を満たして流体が流れるとします（※このように流さない場合は補足欄でご連絡ください）。

　管の直径をLとして、A＝π(L/2)^2＝π(L^2)/4、S＝2π(L/2)＝πLですので、(3)に代入して、整理してみます。

Q＝{(1/n)×A^(5/3)×i^(1/2)}×{S^(-2/3)}　―(3)
＝(1/n)×{π(L^2)/4}^(5/3)×i^(1/2)×{(πL)}^(-2/3)
＝π×{(1/n)×(L^2)/4}^(5/3)×i^(1/2)×{L^(-2/3)}
＝4^(-5/3)×π×(1/n)×(L^2)^(5/3)×i^(1/2)×{L^(-2/3)}
＝4^(-5/3)×π×(1/n)×{L^(11/3)×i^(1/2)]×{L^(-2/3)}
＝4^(-5/3)×π×(1/n)×{L^(9/3)}×i^(1/2)
＝4^(-5/3)×π×(1/n)×L^3×i^(1/2)
＝4^{-1-(2/3)}×π×(1/n)×L^3×i^(1/2)
＝[4^{1+(2/3)}]^(-1)×π×(1/n)×L^3×i^(1/2)
＝[4×4^(2/3)}^(-1)×π×(1/n)×L^3×i^(1/2)
＝[4×8^(1/3)}^(-1)×π×(1/n)×L^3×i^(1/2)
＝(4×2)^(-1)×π×(1/n)×L^3×i^(1/2)
＝8^(-1)×π×(1/n)×L^3×i^(1/2)
＝{π×(1/n)×L^3×i^(1/2)}/8
＝{π×L^3×i^(1/2)}/8n　―(4)

　最後の式だけでもう一度書きだすと、Qを求めるのは以下の式になります。

Q＝{π×L^3×i^(1/2)}/8n　―(4)

　しかし欲しいのは管の直径Lですから、Lを求める式に変形してやります。

　Q＝{π×L^3×i^(1/2)}/8n　―(4)
∴{π×L^3×i^(1/2)}/8n＝Q
∴π×L^3×i^(1/2)＝8nQ
∴L^3×i^(1/2)＝8nQ/π
∴L^3＝8nQ/{πi^(1/2)}
∴L＝{8nQ/{πi^(1/2)}}^(1/3)　―(5)

　円形管を満たす自然な流体の単位時間当たりの流量は、この(5)が公式となります。

>流量(Q)＝0.2(m³/s)を勾配(i)＝1/150、粗度係数(n)＝0.015

を(5)に代入すると、

L＝{8nQ/{πi^(1/2)}}^(1/3)　―(5)
＝{8×0.015×0.2/{π×(1/150)^(1/2)}}^(1/3)
＝0.453978898[m]
＝45.3978898[cm]

　計算はエクセルで行いました。小数点以下、必要な桁で四捨五入してください。

P.S.

　ぱぱっと書いたように見えるかもしれませんが、私は式変形が下手で、何度も間違えては直しになりました。一応、再確認しましたが、式変形を含め、見直しをお願いします。式変形は、流速vから管直径L（これも半径rのほうがよかったかも）を求め、それから単位時間当たり流量へと式変形したほうがよかったかもしれません。