流体工学の問題ですが、教えてください。

管路における摩擦損失により速度の関係式を求める問題ですが、よく分からず困ってます。
どなたか解答の求め方を教えてください。お願いします。

以下、問題
大気中から、入口にベルマウスを持つ半径R の円管に密度ρの空気を吸い込ませたとき、断面➀では一様流速V、断面②ではV/Vm=1-(r/R)²の速度分布となった。VとVmの関係を求めよ。
［解答群］
➀Vｍ=V/√2　②Vm=√2*V　③Vm=2*V　④Vm=3*V　⑤Vm=5*V

と、いう問題です。

流体工学の勉強を始めたばかりの初心者です。解説付きで教えてくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： lupan344 回答日時： 2016/09/11 00:26

V/Vｍ＝1ー(r/R)^2→V＝Vｍ(1－(r/R)^2)＝Vｍ－Vｍ(r/R)＾２となります。

必要なのは、平均流速とVｍの比率なので、平均流速のVｍに対する比率を、(2/(πR^2))∫[0→R]πr(r/R)^2drより求めます。
定数項を前に出せば、(2π/(πR^4))∫[0→R]r^3dr＝(2/(R^4))・(R^4/4)＝2/4＝1/2です。
したがって、平均流速はVm/2＝Vですから、Vm＝2Vとなり、答えは③となります。

No.2 回答者： _11 回答日時： 2016/09/11 00:54

V/Vm=1-(r/R)^2

Vm=V/{1-(r/R)^2}
= V× 1/{1-(r/R)^2}

⑤1/{1-(r/R)^2}=5の時

{1-(r/R)^2}=1/5

4/5=(r/R)^2

√(4/5)=r/R

r=R×√(4/5)

r<R　これは成り立つ

④1/{1-(r/R)^2}=3の時
{1-(r/R)^2}=1/3
2/3=(r/R)^2
√(2/3)=r/R
r=R×√(2/3)
r<R　これも成り立つ

③1/{1-(r/R)^2}=2の時
{1-(r/R)^2}=1/2
1/2=(r/R)^2
√(1/2)=r/R
r=R×√(1/2)
r<R　これも成り立つ

②1/{1-(r/R)^2}=√2の時
{1-(r/R)^2}=1/√2
{1-(1/√2)}=(r/R)^2
√{(√2-1)/√2}=r/R
r=R×√{(√2-1)/√2}
r<R　これも成り立つ

①1/{1-(r/R)^2}=1/√2の時
{1-(r/R)^2}=√2
1-√2=(r/R)^2

1-√2<0より　この式は成り立たない

答え　②③④⑤