水圧と飛距離

水を満たした円柱状の容器の側面にどのくらいの径の穴を開けたとき、そこから放出される水の飛距離が最大になるかという課題が出ているのですが、横方向の速度ベクトルと穴の径との関係が分かりません。
双方にはどのような式関係が成り立っているのか教えてください。

No.3 回答者： cozycube1 回答日時： 2009/01/25 22:23

　補足、承りました。

「ベルヌーイの定理」で検索してください。
　答だけ書いておくと、水の密度をρ（これに注意！）、水深をh、重力加速度をg、水面と穴の圧力差をp0 - p = ρghとすると、速度v = √(2gh)です。これにたどり着いてください。不思議なことに水の密度も消えちゃうんですね。

No.2 回答者： okormazd 回答日時： 2009/01/25 21:37

流管のエネルギー収支は下記ベルヌーイの定理。

u1^2/2+gZ1+P1/ρ1+W=u2^2/2+gZ2+P2/ρ2+F
u1,Z1,P1,ρ1: 流管の一端での流速、高さ、圧力、密度
質問の場合は、容器の水面位置。
u2,Z2,P2,ρ2: 流管の他端での流速、高さ、圧力、密度
質問の場合は、穴の流出口の位置。
W:ポンプなどで流体に与えられるエネルギー
F:摩擦などによるエネルギー損失
質問では、W=0。
また、容器の水面、排出管が大気圧に開放であれば、P1=P2、
流体が液体ならばρ1=ρ2、
タンク液面の断面積S1と出口の断面積S2を比較して、S1>>S2から、
u1=0としてよい。
したがって、
gZ1=u2^2/2+gZ2+F

Z=Z1-Z2
u=u2
とすれば、
gZ=u^2/2+F
となる。
Fは穴の形状などによるが、簡単のためu^2/2に係数をかけて表されることが多い。係数をζとすれば、
2gZ=u^2(1+ζ)

u=√(2gZ/(1+ζ))

ζが穴の径によらなければ、速度はZによって決まる。
厳密にはζはS2/S1によるように記憶しているが、実用的な計算ではそこまでは考えない。
どこで出された課題か知らないが、そこまで要求はしないのではないか。

No.1 回答者： cozycube1 回答日時： 2009/01/25 20:06

　ピンポイントです。

　穴から放出される水量が容器内の水に対して充分小さい、すなわち、水が放出されても水位が下がらないと考えてよいなら、穴の面積をSとおいてみてください。不思議なことにSは最終的な答から消えます。

この回答への補足

お返事ありがとうございます！
ただ、穴の面積Ｓからどうx成分の速度ベクトルの導出するのか、もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

補足日時：2009/01/25 21:27