No.2ベストアンサー
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(1)三角形ABC∽三角形BDCを証明せよ
接弦定理より
∠DAB=∠DBE、∠Cは共通よって2角が等しいので⊿ABC∽⊿BDC
(2)線分CDの長さを求めよ。またBE:ECを最も簡単な整数比で求めよ
⊿ABC∽⊿BDCより
CD/CB=BC/AC、CD=BC^2/AC=6/3=2、AC=1
EAは∠Aを2等分するので
BE/EC=BA/AC=2/3
BE=2√6/5, CE=3√6/5, BC=√6
(3)線分AE,BDの交点をFとするとき、AF/FEを求めよ。また、三角形ABF、四角形CDFEの面積をそれぞれS,TとするときT/Sを求めよ
メネラウスの定理により
(AD/DC)*(CB/BE)*(EF/FA)=1
EF/FA=(DC/AD)*(BE/CB)=(2/1)*(2/5)=4/5, AF/FE=5/4
さらにメネラウスの定理により
(BE/EC)*(CA/AD)*(DF/FB)=1
DF/FB=(EC/BE)*(AD/CA)=(3/2)(1/3)=1/2
三角形の面積を正弦定理より求める。
α=(1/2)∠BAC, β=∠DBCとする。
S/⊿ABE=[(1/2)*2*AF*sinα]/[(1/2)*2*AE*sinα]=AF/AE=5/9
⊿ABE=9S/5, ⊿BEF=4S/5
(4S/5)/⊿BCD=⊿BEF/⊿BCD=[(1/2)*2√6/5*BF*sinβ]/[(1/2)√6*BD*sinβ]=(2/5)(BF/BD)
=(2/5)*(2/3)=4/15
⊿BCD=(4S/5)*(15/4)=3S
T=⊿BCD-⊿BEF=3S-4S/5=11S/5
T/S=11/5
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