材料力学（熱膨張・応力）の質問です

材料力学（熱膨張・応力）の質問です。

図のような、球面状に凹んだ部分（半球面に限定しません）を含んだ面上に薄膜を形成させるとします。

この時、下地材料と薄膜のヤング率が大きく異なり（例えば下地がAlで薄膜がAl2O3のように
下地のヤング率＞＞薄膜のヤング率）、熱をかけた時に界面で応力が発生するとき、

①球面部分ではどのような大きさの応力が発生するのでしょうか？
　（球面の半径ｒ、膜の厚みhなどとして式で表していただければ幸いです）
②また、同様に歪みはどうなるでしょうか？
③平面部（また、平面との境界部）と比較し応力や歪みは大きくなりますか？
　（＝熱を掛けた時、どの部分でが膜が破断・亀裂の発生がしやすいのでしょうか？）

ネット等で調べても、内外圧をうける球殻の応力・歪みなどは解ったのですが、
上記のように、界面に引張応力が生じたときについては解りませんでした。
（①～③とも、球面の半径ｒ、膜の厚みhなどとして式で表していただければ幸いです）

何卒よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： uen_sap 回答日時： 2015/10/01 13:42

これは簡単には解けない。

そもそも平面と球面を一体化させたことにより、熱応力がなくても一筋縄ではいかない。
有限要素法でチェックすることが一番手っとり早そう。