極限の問題です

こんにちは
lim[x→∞]{(3^x)*logx-x^(logx)}はどのようにして解けばいいのでしょうか
ロピタルの定理を使うのだろうと試行錯誤しましたが、いまいち解けません
どなたか、方針だけでもお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/02/12 20:53

f(x) = (3^x)*log(x) - x^(log(x))

の極限ということでよいですかね。
x>eで
f(x) > (3^x) - x^(log(x)) = (3^x)*( 1 - (x^(log(x))) / (3^x) ) = (3^x)*(1 - g(x))
です。（ただし、g(x) = (x^(log(x))) / (3^x) と定義した。）
で、
log(g(x)) = (log(x))^2 - log(3)*x = x*( (log(x))^2 / x - 1) = x*(h(x) - 1)
で、（ただし、h(x) = (log(x))^2 / x と定義した）
lim[x→∞]{ h(x) } = lim[x→∞] log(x)/x （ロピタルの定理）
　= 0
これがわかれば
Lim[x→∞]{ log(g(x)) } = -∞
Lim[x→∞]{ g(x) } = 0
Lim[x→∞]{ f(x) } = +∞
がわかります。