どのような回数・容量を給油するのが効率が良いか？【日常の算数・数学の問題】

車にガソリンを入れると、ガソリン分重くなるので燃費が悪くなります。
どれ位の回数・容量を給油するのが、燃費の観点からは効率が良いでしょうか。
算数・数学に強い方のご回答をお持ちしております。

車の重さは１０００ｋｇ
ガソリン１リットルで１５ｋｍ走る
ガソリンタンク容量は４０Ｌ
１日の走行距離は１０ｋｍ
ガソリン給油所までは往復９ｋｍ
（１日の走行距離とは別にかかるとして計算）

上の条件での計算に加えて、"x"や"y"などの変数を使った計算式
を示してもらっても大歓迎です。
宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。
  
  給油ポイントは給油所を動かせないので無理です。
  １・２の方共通で、ガス欠ギリギリの量給油を繰り返す、ということでしたが、
  はっきりしました。求めているのは「一番少ないガソリン代で一番長く走れるか」
  ということでした。
  数学が苦手だと「こういうことを求めたい」と表現するのも苦手なんですね。。。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/03/19 13:34

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2016/03/21 11:02

ANo.3へのご質問についてです。

>> D(G) = ∫ (a - bg) dg （ただし、積分記号は0からGまでの定積分）
>>　　　= aG - b(G^2)/2
>のb(G^2)/2に変形される点

素直に計算するだけです。定積分の基本を勉強してください。

> b=0.18は自分の書いた条件から導き出されたものなのか

違います。「bが例えば0.18だったとすると」という話に過ぎません。

No.7 回答者： kmee 回答日時： 2016/03/20 09:45

「ガソリン代」って観点で見ると、とても複雑で何とも言えなくなるような。

ガス代が高いとき入れたガソリンで、タンクが空に近いときの、1円あたりの走行距離
と
ガス代が安いとき入れたガソリンで、タンクが満タンに近いときの、1円あたりの走行距離
とで、どちらが得なのか、って単純にはわからないでしょう。

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/03/19 21:15

これを最後にしましょう。

＞15∫(0.99965^n)dn=(1/log0.99965)0.99965^nだから
＞満タンの場合の全走行距離を計算すると
＞(1/log0.99965)0.99965^40 - (1/log0.99965)0.99965^0=596
＞の計算はどうなっているのでしょうか。


瞬間の速度距離が　15*(0.99965^x) なのでをxで[x=0～x]まで定積分すれば出ます。
f(x)=a^xの不定積分は、積分公式より
∫f(x)dx=∫(a^x)dx=(1/loga)･(a^x)。

なので15･(0.99965^x)の不定積分は
15･(1/log0.99965)･(0.99965^x)+c

40L満タンでの走行距離はx=0～40の定積分なので、

距走行距離=
15･(1/log0.99965)･(0.99965^40)+c -
15･(1/log0.99965)･(0.99965^0) +c = 596

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/03/19 19:42

計算間違ってましたので、再度。

・1kg増加すると ＝ 燃費悪化 0.05%
・ガソリンの比重：0.75
ガソリン1リットルは750g(0.75kg)なので、ガソリン1リットル多くすると、燃費は0.05%×0.75=0.035%悪化。
つまり燃費は1-0.00035=0.99965になる。

タンクに入れたガソリンをnリットルとすると、燃費は最初が最悪で徐々に改善してゆきます。
その瞬間の走行距離は15*(0.99965^n)：預金の複利元利合計と同じ計算式

タンクにnリットル有る場合の、全走行距離は
15*(0.99965^n)をnで[n=0～n]まで定積分して求められる。
∴　走行可能距離= 15∫(0.99965^n)dn[n=0～n]の定積分。
15∫(0.99965^n)dn=(1/log0.99965)0.99965^nだから

満タンの場合の全走行距離を計算すると
(1/log0.99965)0.99965^40 - (1/log0.99965)0.99965^0=596

596km走行できる

燃費悪化がなければ600km走行可能だから、最善を尽くしても4km改善。

数回に分けて給油する程ペイしない。
∴いつも満タンに給油する。

この回答へのお礼

絵も付けて頂きありがとうございます。
燃費悪化は仰る通り0.０5%ですね。
重量2000kgの場合、燃費は半分。

分かる範囲で絵も参考に素人計算で、
40*15=600
減少分を三角形と考えると600-(15-14.791*40/2)≒596
になりました。40Ｌの際の14.791がポイントですね。
絵で見て良く分かりました。

ところで
＞15∫(0.99965^n)dn=(1/log0.99965)0.99965^nだから
＞満タンの場合の全走行距離を計算すると
＞(1/log0.99965)0.99965^40 - (1/log0.99965)0.99965^0=596
の計算はどうなっているのでしょうか。
15から1log0.99965が出てくるのが分かりません。

お礼日時：2016/03/19 20:09

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/03/19 15:24

重量による燃費の悪化は想像以上に小さいです。

・1kg増加 ＝ 燃費悪化 0.05%
・ガソリンの比重：0.75
ガソリン1リットル多くすると、燃費は0.035%悪化して、0.99965倍。

タンクに入れたガソリンをnリットルとすると、燃費は最初が最悪で徐々に改善してゆきます。

走行可能距離は= 15∫(0.99965^n)dn　の定積分で求められる。
15∫(0.99965^n)dn=(1/logn)0.99965^nだから

満タンの場合を計算すると599.97km
燃費悪化がなければ600km走行可能だから、最悪でも僅か30m悪化。

数回に分けて給油する程ペイしない。
∴いつも満タンに給油する。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
燃費悪化は車重１０００ｋｇ、ガソリン１Ｌ＝１ｋｇでしょうから
燃費悪化は０．１%ではないでしょうか？
その下の「定積分」はとても難しいです。
もし宜しければ分かりやすく教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2016/03/19 18:19

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2016/03/19 14:45

給油する量をGとし、これを丁度使い切った時に次の給油をするものとする。

（使い切る前に給油するのはこれより必ず劣るからです。）
　ここで「給油をしてから次に給油するまでの、ガソリンを入れに行く往復以外の走行に関する平均燃料消費率（いわば『実質的な平均燃費』）」をw(G)とすると、ご質問は「w(G)を最大にするGはいくらか？」という問題。（この手の問題を極値問題と言います。）

Gリットルの給油で走れる距離をD(G)とする。ガソリンg[L]を積んでごく短距離走るときの燃料消費率（燃費）をW(g) [km/L]とすると、
　　dD/dg = W(g)
である。（なぜこうなるか分からんという場合には、「ガソリンをある一定量Δg(ただしこれはごく微量だとする)を消費する間に走れる距離をΔD(g)とすると、
　　ΔD(g)/Δg = W(g)
である。」と考えればいいんです。）
なので、
　　D(G) = ∫ W(g) dg （ただし、積分記号は0からGまでの定積分）

　ここでは話を簡単にするために、 a, bを正の定数として
　　W(g) = a - bg
という形をしているものと仮定して計算を進めてみましょ。（W(g)が1次式ではない場合でも、以下の手順は同じですが。）すると、
　　D(G) = ∫ (a - bg) dg （ただし、積分記号は0からGまでの定積分）
　　　= aG - b(G^2)/2
D(G)の中には、ガソリンを入れに行くための9kmが含まれているんで、D(G)-9 が実際に使える走行距離ということ。なので
　　w(G) = (D(G)-9)/G
　　= a - (b/2)G - 9/G
ガソリンタンクの容量のことはとりあえず忘れて、w(G)が最大になるGの値Gmaxを考える。w(G)をGで微分したものをw'(G)とすると
　　w'(G) = -(b/2) +9/(G^2)
さて、GがGmaxにごく近い時には、Gを少々変えてもw(G)は変化しないはずだ。つまり、
　　w'(Gmax) = 0
である。これを解いて
　　Gmax = √(18/b)

　例えば b = 0.18ならGmax=10L。つまり10Lだけ入れるのが良いとわかる。
　しかし、もしb=0.0018ならGmax=100Lということになり、タンクの容量を超えている。こういう場合にどうすればいいかというと、G<Gmaxの時はw'(G)が常に正の値になる。つまり「給油量Gが大きいほどwが大きくなる」わけで、だからこの場合は「満タンにするのが良い」ということがわかります。

この回答へのお礼

大変詳しく有難うございます。
上から順に理解していったのですが、
＞
D(G) = ∫ (a - bg) dg （ただし、積分記号は0からGまでの定積分）
　　　= aG - b(G^2)/2
のb(G^2)/2に変形される点と、
b=0.18は自分の書いた条件から導き出されたものなのかが
分かりませんでした。あるいはこのb=0.18の根拠につきまして。
もし宜しければこの点につき
教えてもらえないでしょうか。

お礼日時：2016/03/19 17:03

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/03/19 13:10

燃料はギリギリ。

毎日質問の例にある運転（走行距離）でガス欠になるように毎日ガソリンを給油する。

質問の場合は燃費を優先にするので給油回数は無視する。
F1レースの場合は給油回数が問題になってくるので非常にシビアな計算になるが、
質問のケースなら給油回数を増やせばよいことになる。
そして通常走行するルートに給油ポイントがあればベスト。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/03/19 18:21

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/03/19 12:29

>ガソリン分重くなるので燃費が悪くなります。

ここが数式か実験値で表現されないと計算できないですね。

給油に必要なガソリン代を考えるだけなら毎回満タンがよい。
逆に燃費を最大に保つなら、ほぼ空で走るのがよい。

＞ガソリン１リットルで１５ｋｍ走る

というように燃費が固定なら満タンが答えです。

一般的な街乗りだとどのように燃費が変化するのかな～
どっかにデータがあればシミュレーションできるかも。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かに１Ｌでの走行距離固定だと問題が成り立たないですね。
ガソリン０Ｌの際の走行距離が１５ｋｍで
ガソリンが増えると重さも増えて走行距離も減る
という想定ではどうでしょうか。

お礼日時：2016/03/19 18:21